2009　東京海洋大学　前期海洋科学部

【１】　$3$次関数$f(x)=6k{x}^3-9(k+1)x^2$$+18x$$+k+{\displaystyle \frac{3}{k^2}}$について，次の問に答えよ．ただし，$k$は$0$でない実数とする．

(1)　$k=-1$のとき，$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．

(2)　$f(x)$が$x=1$で極大値をもつときの$k$の値の範囲を求めよ．

(3)　$f(x)$が極大値$10$をとるときの$k$の値を求めよ．

【２】　$k$を実数とするとき，$2$次関数$f(x)=x^2+kx+k+3$について，次の問に答えよ．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_{-1}^2}f(x)\mathit{dx}$を$k$で表せ．

(2)　${\displaystyle {\int }_{-1}^2}{\{f^{\prime }(x)\}}^2\mathit{dx}={\displaystyle {\int }_{-1}^2}f(x)\mathit{dx}$となるときの$k$の値を求めよ．

(3)　${\displaystyle {\int }_{-1}^2}|f(x)|\mathit{dx}>|{\displaystyle {\int }_{-1}^2}f(x)\mathit{dx}|$となるときの$k$の値の範囲を求めよ．

【３】　空間内の$2$点$\mathrm{A}$$(2,-1,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-2,1,4)$に対し，$xy$平面上の点$\mathrm{P}$が$\mathrm{\angle APB}=90\mathrm{°}$をみたしながら動くとき．次の問に答えよ．ただし，ここで点$(a,b,c)$における$a\text{，}$$b\text{，}$$c$はそれぞれこの点の$x$座標，$y$座標，$z$座標を表す．

(1)　点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

(2)　$\mathrm{▵APB}$の面積が最大となるときの${\mathrm{AP}}^2$の値を求めよ．

【４】　赤および白の箱にそれぞれ$1$から$4$までの整数を$1$つずつ書いた$4$枚のカードが入っている．両方の箱から$1$枚ずつカードを取り出し，赤の箱から取り出したカードに書かれた整数を$x$座標，白の箱から取り出したカードに書かれた整数を$y$座標とする$xy$平面上の点を定め，取り出したカードをそれぞれもとの箱に戻す．この操作を$3$回繰り返し，$1$回目の操作で定められた点を$\mathrm{A}\text{，}$$2$回目の操作で定められた点を$\mathrm{B}\text{，}$$3$回目の操作で定められた点を$\mathrm{C}$とするとき，次の問に答えよ，

(1)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が異なる確率を求めよ，

(2)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が異なり，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る直線の傾きが$1$である確率を求めよ．

(3)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が面積${\displaystyle \frac{1}{2}}$の直角三角形の$3$頂点である確率を求めよ．

【５】　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$に対し，$a_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\log }_2{\displaystyle \frac{k(k+2)}{{(k+1)}^2}}$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　$-1<a_n<0$であることを示せ．

(2)　$a_n<-0.9$となる最小の$n$の値を求めよ．ただし，$2^{\frac{1}{10}}=1.072$とする．