2009　東京海洋大学　前期海洋工学部

【１】(1) 行列$A$を$A=\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ 3& -1\end{array}\right)$とする．

$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right){\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 1\end{array}\right)}^{-1}$

が成り立つことを示せ．

(2)　$n$を正の整数とするとき，$A^n$を計算せよ．

(3)　数列$\{x_n\}\text{，}$$\{y_n\}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$がすべての$n$について，$y_n\ne 0$かつ

$\left(\begin{array}{c}{x}_{n+1}\\ y_{n+1}\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)$

をみたすとする．数列$\{z_n\}$を$z_n={\displaystyle \frac{x_n}{y_n}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$とおくとき，

$z_{n+1}={\displaystyle \frac{4z_n-2}{3z_n-1}}$

が成り立つことを示せ．

(4)　$z_1=2$のとき，一般項$z_n$を求めよ．

【２】　座標平面上の$\mathrm{▵ABC}$が原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円に内接している．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．$0\mathrm{°}\leqq \theta <360\mathrm{°}$をみたす$\theta$に対して，

$\overrightarrow{c}=(\cos \theta -{\displaystyle \frac{1}{3}}\sin \theta )\overrightarrow{a}+({\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}\sin \theta )\overrightarrow{b}$

が成り立つとする．ただし，

$\cos \theta -{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\sin \theta \ne 0\text{，}$$\sin \theta \ne 0$

とする．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$が${\displaystyle \frac{1}{2}}$であることを示せ．

(2)　$\mathrm{A}$の座標を$(1,0)$とし，点$\mathrm{B}$の$y$座標は$0$以上であるとする．点$\mathrm{C}$の座標を$\theta$で表せ．

(3)　$\mathrm{▵ABC}$の面積が最大になるときの$\theta$を求めよ．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の放物線$C\text{：}y=x^2$上の異なる$2$点$\mathrm{A}$$(a,a^2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(b,b^2)$における接線をそれぞれ$l\text{，}$$m$とする．点$\mathrm{A}$を通り$m$と直交する直線を$l^{\prime }\text{，}$点$\mathrm{B}$を通り$l$と直交する直線を$m^{\prime }$とし，$l^{\prime }$と$m^{\prime }$の交点を$\mathrm{H}$とする．

(1)　$\mathrm{H}$の座標を$a\text{，}$$b$で表せ．

(2)　点$\mathrm{H}$が原点$\mathrm{O}$と一致するように$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が放物線$C$上を動くとき，線分$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{M}$の軌跡を求めよ．

【４-Ⅰ】　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$に対し，座標平面上の点${\mathrm{P}}_n\text{，}$${\mathrm{Q}}_n$を${\mathrm{P}}_n$$(2n-6,2n-6)\text{，}$${\mathrm{Q}}_n$$(2n-4,2n-6)$とする．${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{Q}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{Q}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3\text{，}$${\mathrm{Q}}_3\text{，}$${\mathrm{P}}_4$を順に線分で結んでできる図形（折れ線）を$C$とする．放物線$y=-x^2+5$と折れ線$C$で囲まれた図形を$D$とする．

(1)　図形$D$の面積を求めよ．

(2)　点$(-1,4)$を通り図形$D$の面積を$2$等分する直線の傾きを求めよ．ただしそのような直線が$1$本しかないことは示さなくてよい．

【４-Ⅱ】(1)　$x>0$のとき，$1+x<e^x$が成り立つことを示せ．

(2)　$0\leqq x\leqq 1$のとき，$1+x+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\leqq e^x\leqq 1+(e-1)x$が成り立つことを示せ．

(3)　座標平面上の曲線$y=e^x$と直線$y=1+(e-1)x$で囲まれた図形の面積を求めよ．

(4)　(2)の不等式および(3)の結果を用いて，${\displaystyle \frac{8}{3}}<e<3$を示せ．