2009　長岡技術科学大学　前期MathJax

【１】　$0<r<1$とする．点$\mathrm{A}$$(1,0)$を中心とする半径$r$の円周を$C_r$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　$C_r$の方程式を書きなさい．

(2)　$C_r$上の点$\mathrm{P}$$(a,b)$における接線が原点$\mathrm{O}$を通るとする．ただし$b>0$とする．$a\text{，}$$b$を$r$を用いて表しなさい．

(3)　$r$が変化するとき，接点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を$y=f(x)$とする．$f(x)$を求めなさい．

(4)　$y=f(x)$のグラフの概形を書きなさい．

【２】　$x>\sqrt{2}$とする．$y={\displaystyle \frac{3x+4}{2x+3}}$とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　${\displaystyle \frac{y-\sqrt{2}}{x-\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{3-2\sqrt{2}}{2x+3}}$を示しなさい．

(2)　$0<{\displaystyle \frac{y-\sqrt{2}}{x-\sqrt{2}}}<{(3-2\sqrt{2})}^2$を示しなさい．

(3)　$x_1=2\text{，}$$x_{n+1}={\displaystyle \frac{3x_n+4}{2x_n+3}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{．}$$\cdots \text{）}$で定義される数列を$\{x_n\}$とする．$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$を求めなさい．

【３】　$xy$平面の$0\leqq x\leqq \pi$の範囲で，曲線$y=\sin x$と$x$軸とで囲まれた部分を$S$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　$S$の面積を求めなさい．

(2)　実数$t$が$0<t<\pi$の範囲を動くとき，$S$のうち${\displaystyle \frac{t}{2}}\leqq x\leqq t$にある部分の面積$A(t)$の最大値を求めなさい．