2009　福井大学　前期

【１】　数列$\{a_n\}$において，初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると，関係式

$S_n=2a_n-n\cdot 2^{n+1}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つ．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a_1\text{，}$$a_2$を求めよ．

(2)　$a_{n+1}$を$a_n$と$n$の式で表せ．

(3)　$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{2^n}}$と定めるとき，$b_n$を$n$の式で表せ．さらに，$a_n$を$n$の式で表せ．

【２】　$\mathrm{▵OAB}$において，$\mathrm{OA}=2\text{，}$$\mathrm{OB}=1\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}=\theta$$\text{（}0<\theta <\pi \text{）}$とする．頂点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=t\overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-t)\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$t$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$t={\displaystyle \frac{1}{4}}$のとき，$\mathrm{▵OAB}$の面積を求めよ．

(3)　$\mathrm{AB}=\mathrm{OA}$のとき，$t$を求めよ．

【３】　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は最初$6$点ずつ持っている．$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は，以下のルールによる点のやり取りのゲームを$3$回行う．

（ゲームのルール）$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は同時にひとつずつサイコロを投げて，$2$人の出した目の和が$3$の倍数なら，$\mathrm{A}$は$\mathrm{B}$から$2$点もらい，それ以外の場合には，$\mathrm{B}$は$\mathrm{A}$から$1$点もらう．

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が同時にひとつずつサイコロを投げるとき，目の和が$3$の倍数である確率を求めよ．

(2)　ゲームを$3$回行った後，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の持っている点が等しくなる確率を求めよ．

(3)　ゲームを$3$回行った後，$\mathrm{A}$の持っている点が$\mathrm{B}$の持っている点より大きい確率を求めよ．

【４A】　区間$0\leqq x\leqq 2\pi$で定義された関数$f(x)={\displaystyle \frac{2\sin x}{\cos x+2}}$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の極値を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$と直線$y=1$は$2$つの交点をもつ．それらの座標を$(\alpha ,1)\text{，}$$(\beta ,1)$とおく．ただし，$\alpha <\beta$とする．

このとき，$\cos \alpha \text{，}$$\cos \beta$の値を求めよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}f(x)\mathit{dx}$の値を求めよ．

【４B】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は定数とする．関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$は次の関係式

$(x+3)f(x)=xf(x+1)$

をみたす．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を求めよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_{-1}^1}|f^{\prime }(x)+x|\mathit{dx}$の値を求めよ．

【２】　$t$を$0<t\leqq 1$を満たす実数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に点$\mathrm{P}$$(t,0)$をとる．また，直線$l\text{：}y=-x$上に，$s\leqq 0\text{，}$$\mathrm{PQ}=1$を満たす点$\mathrm{Q}$$(s,-s)$をとる．$\mathrm{P}$を通り$x$軸に垂直な直線と，$\mathrm{Q}$を通り$l$に垂直な直線との交点を$\mathrm{R}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{OR}$の長さを求めよ．

(2)　$t$が$0<t\leqq 1$の範囲を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡を求め，それを図示せよ．

(3)　$\mathrm{\angle ROP}=60\mathrm{°}$のとき，四角形$\mathrm{OPRQ}$の面積を求めよ．

【３】　$\mathrm{▵OAB}$において，$\mathrm{OA}=a\text{，}$$\mathrm{OB}=1$とする．頂点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=t\overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-t)\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，$a>1$とする．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$a$と$t$の式で表せ．

(2)　辺$\mathrm{AB}$の長さを$a$と$t$の式で表せ．

(3)　$\mathrm{AB}=\mathrm{OA}$のとき，$t$を$a$の式で表せ．

【４】　曲線$C_1\text{：}y=\sin x$と$C_2\text{：}y={\displaystyle \frac{3}{2}}\sin x+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\cos x$について，$0\leqq x\leqq \pi$における$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を$a$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　$C_2$は曲線$y=b\sin x$を$x$軸方向に$\theta$だけ平行移動して得られる．定数$b$と定数$\theta$を求めよ．ただし，$b>0\text{，}$$-\pi \leqq \theta \leqq \pi$とする．

(3)　$0\leqq x\leqq a$の範囲で，$C_1$と$C_2$および$y$軸で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【１】　空間内に平行六面体$\mathrm{ABCD}‐\mathrm{EFGH}$がある．$t$を$0<t<1$を満たす実数とし，辺$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CD}\text{，}$$\mathrm{DH}\text{，}$$\mathrm{HE}\text{，}$$\mathrm{EF}\text{，}$$\mathrm{FB}$を$t:(1-t)$に内分する点を，それぞれ${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3\text{，}$${\mathrm{P}}_4\text{，}$${\mathrm{P}}_5\text{，}$${\mathrm{P}}_6$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{c}$として，以下の問いに答えよ．

(1)　$3$つの線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_4\text{，}$${\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_5\text{，}$${\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_6$の中点は一致することを示せ．また，この中点を$\mathrm{M}$として，$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　$4$点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3\text{，}$${\mathrm{P}}_5$が同一平面上にあるような$t$の値を求めよ．また，このとき$6$点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3\text{，}$${\mathrm{P}}_4\text{，}$${\mathrm{P}}_5\text{，}$${\mathrm{P}}_6$も同一平面上にあることを示せ．

(3)　$\mathrm{AB}=\mathrm{AD}=\mathrm{AE}=1\text{，}$$\mathrm{\angle BAD}=\mathrm{\angle DAE}=\mathrm{\angle EAB}$であるとき，(2)で求めた$t$に対して，線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_3$の長さの比および$\mathrm{\angle }{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3$の大きさを求めよ．

【２】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$に関して，以下の問いに答えよ．

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=a_n-{\displaystyle \frac{n}{(n+1)!}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　一般項$a_n$を求めよ．

(2)　$2$以上の自然数$m$に対して${\displaystyle \sum _{k=1}^{m-1}}{a}_k{a}_{m-k}$を求めよ．

(3)　不等式${\displaystyle \frac{{(a_n)}^2}{a_{2n}}}{\displaystyle \frac{4^n}{\sqrt{2n+1}}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$が成り立つことを証明せよ．

【３】　楕円$C\text{：}{x}^2+4y^2=4$上に点$\mathrm{P}$$(a,b)$をとる．ただし，$0<a<2\text{，}$$0<b<1$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$における$C$の法線$l$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}\text{，}$楕円$C$の$2$つの焦点のうち$x$座標が正のものを$\mathrm{F}$とおく．このとき，${\displaystyle \frac{\mathrm{QF}}{\mathrm{PF}}}$の値は$\mathrm{P}$のとり方によらずに一定であることを示せ．

(2)　$a=2\cos \theta$とおく．$C$の$y$座標が正の部分，法線$l$および$y$軸により囲まれる図形の面積$S$を$\theta$を用いて表せ．ただし，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(3)　$\theta$が$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，$S$の最大値を与える点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【４】　$2$次の正方行列$M$の表す$1$次変換$f$により，点$(2,1)$が点$(4,2)$に，点$(-1,1)$が点$(1,-1)$にそれぞれ移っている．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　行列$M$を求めよ．

(2)　$1$次変換$f$により点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}$に移るとする．$\mathrm{P}$が原点を除く座標平面上の点を動くとき，${\left({\displaystyle \frac{\mathrm{OQ}}{\mathrm{OP}}}\right)}^2$のとり得る値の範囲を求めよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．

(3)　定点${\mathrm{A}}_0$$(0,1)$をとり，$f$により${\mathrm{A}}_0$の移る点を${\mathrm{A}}_1$とする．以下，$i$を自然数として，$f$により${\mathrm{A}}_i$の移る点を${\mathrm{A}}_{i+1}$とする．このとき自然数$n$に対して，点${\mathrm{A}}_n$の座標を求めよ．また，点${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_3\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{A}}_{2n-1}\text{，}$$\cdots$は同一直線上にあることを示せ．