2009　信州大学　後期　理学部数IIIC，医学部（医）MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$\underset{x\to 1}{\lim }{\displaystyle \frac{a\sqrt{x+1}+b}{x-1}}=1$を満たす実数$a\text{，}b$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　行列$A$が点$(1,-2)$を点$(-x+4,-5)$に移し，点$(1,-1)$を点$(1,x-2)$に移すとする．$A$により動かない点が原点以外にあるとき，$x$の値を求めよ．

【２】　$0<t<1$とする．$▵\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$を$(1-t):t$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{CD}$と線分$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{BP}$と線分$\mathrm{PE}$の長さの比を$t$を用いて表せ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$と$▵\mathrm{DEP}$の面積の比を$t$を用いて表せ．

(3)　$▵\mathrm{DEP}$の面積が最大になるときの$t$の値を求めよ．

【３】　関数$f(x)$を偶関数とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の定数である．

(1)　${\displaystyle {\int }_{-a}^a}{\displaystyle \frac{f(x)}{e^x+1}}dx={\displaystyle {\int }_0^a}f(x)dx$を示せ．

(2)　${\displaystyle {\int }_{-a}^a}{\displaystyle \frac{x^2\cos x+e^x}{e^x+1}}dx$を求めよ．

【１】　放物線$y=x^2$上の$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が$\mathrm{PQ}=2$を満たしながら動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{R}$の軌跡の方程式を求めよ．

【２】　関数

$f(x)=4x^3-3x-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$

について，次の問いに答えよ．

(1)　$f(\cos \theta )=0$を満たす$\theta (0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$を求めよ．また，そのときの$\cos \theta$の値を求めよ．

(2)　方程式$f(x)=0$の実数解をすべて求めよ．

【３】　右の図のような$1$辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{ABCD}-\mathrm{EFGH}$の辺$\mathrm{FG}$上に点$\mathrm{P}$をとる．$t=\mathrm{PG}\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$▵\mathrm{ABP}$の面積$S_1$を$t$を用いて表せ．

(2)　$▵\mathrm{ACP}$の面積$S_2$を$t$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{FG}$上を動くとき，$S_1+S_2$の最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．

【４】　楕円$2{(x-a)}^2+{(y-b)}^2=1$が，$2$直線$y=-4x+12\text{，}y=0$の両方に接しているとする．このとき，$a\text{，}b$の値を求めよ．