2009　静岡大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　すべての自然数$n$に対して，$4^{n+1}+5^{2n-1}$は$21$で割り切れることを証明せよ．

(2)　次の条件を満たす定数でない多項式$f(x)$を推定し，その推定が正しいことを証明せよ．

(a)　$f(4)=21$

(b)　すべての自然数$n$に対して，$x^{n+1}+{(x+1)}^{2n-1}$は$f(x)$で割り切れる．

【２】　放物線$y=x^2-x$を$C$とする．$C$上の$2$点$\mathrm{A}$$(\alpha ,{\alpha }^2-\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}$$(\beta ，{\beta }^2-\beta )$における接線をそれぞれ$l\text{，}$$l^{\prime }$とし，その交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$\alpha <\beta$とする．

(1)　放物線$C$および$2$つの接線$l\text{，}$$l^{\prime }$で囲まれた図形の面積$S$を$\alpha \text{，}$$\beta$で表せ．

(2)　$k$を正の定数とする．点$\mathrm{P}$が放物線$y=x^2-x-k$上にあるとき，面積$S$を$k$で表せ．

【３】　四面体$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{▵BCD}$の重心を$\mathrm{G}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$をベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$で表せ．

(2)　線分$\mathrm{AG}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{▵ACD}$の重心を$\mathrm{F}$とする．このとき，$3$点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$は一直線上にあり，$\mathrm{E}$は$\mathrm{BF}$を$3:1$に内分する点であることを示せ．

(3)　$\mathrm{BA}=\mathrm{BD}\text{，}$$\mathrm{CA}=\mathrm{CD}$であるとき，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BF}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$は垂直であることを示せ．

【４】　$2$人でさいころを$1$つずつ投げ，出た目の大きい方が勝ち，同じなら引き分けというゲームを行う．それぞれのゲームにおいて得点は，勝った方が$3$点，負けた方が$0$点，引き分けの場合は双方$1$点とする．このゲームを$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の$3$人が総当たりで行い，総得点を競うものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$がゲームを行ったとき，$\mathrm{A}$が勝つ確率と引き分けになる確率をそれぞれ求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$の総得点の期待値を求めよ．

(3)　$\mathrm{A}$の総得点が$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$それぞれの総得点より多くなる確率を求めよ．

【３】　$n$を自然数とし，$f_n(x)={\displaystyle \frac{2nx}{x^2+n^2}}$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=f_n(x)$のグラフをかけ．

(2)　$2$曲線$y=f_n(x)\text{，}$$y=f_{n+1}(x)$で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．必要ならば，$\underset{n\to \infty }{\lim }{(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n=e$を用いてよい．

【４】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}-1& -\sqrt{3}\\ \sqrt{3}& -1\end{array}\right)$について，次の問いに答えよ．

(1)　$A+A^2+A^3$を求めよ．

(2)　自然数$n$に対して，$A+A^2+A^3+\cdots +A^{3n-1}+A^{3n}$を求めよ．