2009　静岡大学　後期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)=4e^x-(x+3)$に対して，$f(m)<0$となる整数$m$をすべて求めよ．ただし，自然対数の底$e$の値は$e=2.718\cdots$である．

(2)　自然数$n$に対して，$g(x)=x{(n-1-\log x)}^2-n$とする．方程式$g(x)=0$の実数解の個数を$n$の値によって分類せよ．必要ならば，$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=0\text{，}$$\underset{x\to +0}{\lim }x{(\log x)}^2=0$を用いてよい．

【２】　原点$\mathrm{O}$の座標平面上に定点$\mathrm{A}$$(0,2)$がある．点$\mathrm{P}$$(s,t)$が円$x^2+{(y-1)}^2=1$上を動くとき，次の問いに答えよ．ただし，$s>0$とする．

(1)　$\mathrm{▵OAP}$の面積が最大となるときの$t$の値を求めよ．

(2)　$\mathrm{▵OAP}$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を$s\text{，}$$t$で表せ．

(3)　体積$V$が最大となるときの$t$の値を求めよ．

【１】　実数$x\text{，}$$y$について，$x\geqq y$のとき$\min \{x,y\}=y\text{，}$$x<y$のとき$\min \{x,y\}=x$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　実数$a\text{，}$$b$に対して，$a-\left|b\right|=\min \{a+b,a-b\}$を示せ．

(2)　関数$y=2x+4-|x^2-2x-8|$のグラフをかけ．

(3)　方程式$2x+4-|x^2-2x-8|-k^2+2k+3=0$の実数解の個数を定数$k$の値によって分類せよ．

【２】　$a$を定数とする．$2$つの放物線$y=-{(x-1)}^2+2a\text{，}$$y={(x+1)}^2$をそれぞれ$C_1\text{，}$$C_2$とする．$C_1\text{，}$$C_2$が異なる$2$点で交わっているとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$2$つの交点を通る直線の方程式を求めよ．

(3)　第$1$象限における交点を$\mathrm{A}$とする．$C_1$の点$\mathrm{A}$における接線が(2)で求めた直線と垂直になるように$a$の値を定め，このときの接線を$l$とする．$l$の方程式を求めよ．

(4)　$C_2$と$l$で囲まれた部分から，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分を除いた図形の面積を求めよ．

【４】　座標平面上の原点$\mathrm{O}$と定点$\mathrm{A}$$(0,2)$からの距離の和が$4$である点の軌跡を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$C$の方程式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$$(s,t)$が$C$上を動くとき，$\mathrm{▵OAP}$の面積が最大となるときの$t$の値を求めよ．ただし，$s>0$とする．

(3)　点$\mathrm{P}$$(s,t)$が$C$上を動くとき，$\mathrm{▵OAP}$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を$s\text{，}$$t$で表せ．ただし，$s>0\text{，}$$t>0$とする．

(4)　体積$V$が最大となるときの$t$の値を求めよ．ただし，$s>0\text{，}$$t>0$とする．

【５】　座標平面上の点を，原点のまわりに角$\theta$だけ回転させる移動を表す行列を$A(\theta )$とし，直線$y=x$に関する対称移動を表す行列を$B$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$A(\theta )\text{，}$$B$をそれぞれ求めよ．ただし，答えのみでよい．

(2)　${\{A(\theta )\}}^{-1}=A(-\theta )\text{，}$$A({\theta }_1)A({\theta }_2)=A({\theta }_1+{\theta }_2)$をそれぞれ示せ．

(3)　$BA(\theta )BA(\theta )$を求めよ．

(4)　自然数$n$に対して，$X_n=A(\theta )B{\{A(\theta )\}}^{2}B\cdot \cdots \cdot {\{A(\theta )\}}^{n}B$とするとき，$X_2\text{，}$$X_4$をそれぞれ求めよ．

(5)　自然数$n$に対して，$X_{2n}$を推定し，数学的帰納法を用いてその推定が正しいことを証明せよ．

【１】　$1$分ごとに$1$回の割合で$2$つに分裂する細胞がある．この細胞には$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の$2$つのタイプがあり，タイプ$\mathrm{A}$はタイプ$\mathrm{A}$とタイプ$\mathrm{B}$に，タイプ$\mathrm{B}$は$2$つのタイプ$\mathrm{A}$にそれぞれ分裂する．最初のタイプ$\mathrm{A}\text{，}$タイプ$\mathrm{B}$の細胞の個数をそれぞれ$a_0\text{，}$$b_0$とし，$n$分後のタイプ$\mathrm{A}\text{，}$タイプ$\mathrm{B}$の細胞の個数をそれぞれ$a_n\text{，}$$b_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_n+b_n$を求めよ．

(2)　$a_n$と$b_n$を$a_{n-1}\text{，}$$b_{n-1}$で表せ．

(3)　$a_n-2b_n$を求めよ．

(4)　$a_n$と$b_n$を求めよ．

(5)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}$を求めよ．ただし，$a_0>0\text{，}$$b_0>0$とする．

【４】　原点$\mathrm{O}$の座標平面上に定点$\mathrm{A}$$(0,2)$がある．$2$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}$を焦点とし，焦点からの距離の和が$4$である楕円を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$C$の方程式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$$(s,t)$が$C$上を動くとき，$\mathrm{▵OAP}$の面積が最大となるときの$t$の値を求めよ．ただし，$s>0$とする．

(3)　点$\mathrm{P}$$(s,t)$が$C$上を動くとき，$\mathrm{▵OAP}$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を$s\text{，}$$t$で表せ．ただし，$s>0\text{，}$$t>0$とする．

(4)　体積$V$が最大となるときの$t$の値を求めよ．ただし，$s>0\text{，}$$t>0$とする．