2009　名古屋大学　前期MathJax

【１】　空間のベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(1,0,0)\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(a,b,0)\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$が，条件

$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=1\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$

をみたしているとする．ただし，$a\text{，}b$は正の数とする．

(1)　$a\text{，}b$の値を求めよ．

(2)　三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$を求めよ．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．

【２】　放物線$y=a{x}^2\text{（}a>0\text{）}$と円${(x-b)}^2+{(y-1)}^2=1\text{（}b>0\text{）}$が，点$\mathrm{P}(p,q)$で接しているとする．ただし，$0<p<b$とする．この円の中心$\mathrm{Q}$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$としたとき，$\angle \mathrm{PQR}=120°$であるとする．ここで，放物線と円が点$\mathrm{P}$で接するとは，$\mathrm{P}$が放物線と円の共有点であり，かつ点$\mathrm{P}$における放物線の接線と点$\mathrm{P}$における円の接線が一致することである．

(1)　$a\text{，}b$の値を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{R}$を結ぶ短い方の弧と$x$軸，および放物線で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　さいころを投げると，$1$から$6$までの整数の目が等しい確率で出るとする．さいころを$n\text{回（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$投げるとき，出る目の積の一の位が$j\text{（}j=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}9\text{）}$となる確率を$p_n(j)$とする．

(1)　$p_2(0)\text{，}{p}_2(1)\text{，}{p}_2(2)$を求めよ．

(2)　$p_{n+1}(1)$を，$p_n(1)$と$p_n(7)$を用いて表せ．

(3)　$p_n(1)+p_n(3)+p_n(7)+p_n(9)$を求めよ．

【１】　$a>0\text{，}b>0$とする．点$\mathrm{A}(0,a)$を中心とする半径$r$の円が，双曲線$x^2-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$と$2$点$\mathrm{B}(s,t)\text{，}\mathrm{C}(-s,t)$で接しているとする．ただし，$s>0$とする．ここで，双曲線と円が点$\mathrm{P}$で接するとは，$\mathrm{P}$が双曲線と円の共有点であり，かつ点$\mathrm{P}$における双曲線の接線と点$\mathrm{P}$における円の接線が一致することである．

(1)　$r\text{，}s\text{，}t$を，$a$と$b$を用いて表せ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$が正三角形となる$a$と$r$が存在するような$b$の値の範囲を求めよ．

【２】　関数$f(x)$と$g(\theta )$を

• $f(x)={\displaystyle {\int }_{-1}^x}\sqrt{1-t^2}dt\text{（}-1\leqq x\leqq 1\text{）}$
• $g(\theta )=f(\cos \theta )-f(\sin \theta )\text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$

で定める．

(1)　導関数$g^{\prime }(\theta )$を求めよ．

(2)　$g(\theta )$を求めよ．

(3)　$y=g(\theta )$のグラフをかけ．

【３】　行列$A={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& -1\end{array}\right)$に対して，座標空間の点${\mathrm{P}}_n$の座標$(a_n,b_n,c_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を，$(a_1,b_1,c_1)=(1,0,0)\text{，}$

$\left(\begin{array}{c}{a}_{n+1}\\ b_{n+1}\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ b_n\end{array}\right)\text{，}{c}_{n+1}=c_n+\sqrt{a_n{b}_n}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．

(1)　$A^3$を求めよ．

(2)　点${\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}{\mathrm{P}}_4$の座標を求めよ．

(3)　点${\mathrm{P}}_n$の座標を求めよ．

【４】[A]　さいころを投げると，$1$から$6$までの整数の目が等しい確率で出るとする．さいころを$n\text{回}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$投げるとき，出る目の積の一の位が$j\text{（}j=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}9\text{）}$となる確率を$p_n(j)$とする．

(1)　$p_2(0)\text{，}{p}_2(1)\text{，}{p}_2(2)$を求めよ．

(2)　$p_{n+1}(1)$を，$p_n(1)$と$p_n(7)$を用いて表せ．

(3)　$p_n(1)+p_n(3)+p_n(7)+p_n(9)$を求めよ．

(4)　$p_n(5)$を求めよ．

【４】[B]　$x\text{，}y$を正の整数とする．

(1)　${\displaystyle \frac{2}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}}$をみたす組$(x,y)$をすべて求めよ．

(2)　$p$を$3$以上の素数とする．${\displaystyle \frac{2}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{p}}$をみたす組$(x,y,z)$のうち，$2x+3y$を最小にする$(x,y)$を求めよ．