2009　名古屋工業大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}b$を正の定数として，直線$l:{\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}}=1$と曲線$C:\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{x}{a}}}+\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{y}{b}}}=1$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　曲線$C$と$x$軸，$y$軸で囲まれた部分の面積$S_1$を求めよ．

(2)　直線$l$と曲線$C$で囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}$を求めよ．

【２】　楕円${\displaystyle \frac{x^2}{7}+\frac{y^2}{3}}=1$を原点を中心に反時計回りに角${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$だけ回転して得られる曲線を$C$とする．

(1)　曲線$C$の方程式を求めよ．

(2)　直線$y=t$が$C$と共有点を持つような実数$t$の範囲を求めよ．

(3)　すべての頂点が$C$上にあり，$1$辺が$x$軸に平行な三角形の面積の最大値を求めよ．

【３】　実数$x$に対して

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{\displaystyle \frac{1}{t^2+1}}dt$

とおく．

(1)　$f(1)$を求めよ．

(2)　$x>0$に対して$g(x)=f\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$とおく．$g(x)$の導関数を求め，$x>0$に対して等式$f(x)+g(x)={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$が成り立つことを示せ．

(3)　(2)を利用して極限$\alpha =\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$を求めよ．

(4)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }x(\alpha -f(x))$を求めよ．

【４】　日本近海のある海域では未確認飛行物体（$\mathrm{UFO}$）が頻繁に目撃されている．あるテレビ局がスクープ映像をねらって取材チームをこの海域に送り込んだ．海面を$xy$平面とする空間座標で船舶$1$を点$\mathrm{A}(4,0,0)$に，船舶$2$を点$\mathrm{B}(0,5,0)$に配置し，空中ではヘリコプターが点$\mathrm{C}(11,13,2)$の近くで待機している．

(1)　午後$4$時に船舶$1$からベクトル$(2,3,3)$の方向に，船舶$2$からベクトル$(6,-2,3)$の方向に$\mathrm{UFO}$が見えた．午後$4$時における$\mathrm{UFO}$の位置を点$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　$4$分前の$3$時$56$分に$\mathrm{UFO}$は点$\mathrm{Q}(2,0,3)$にいたことが確認された．$\mathrm{UFO}$は方向，速さ一定のまま飛行していると予測される．$4$時$t$分における$\mathrm{UFO}$の予測される位置の座標を求めよ．

(3)　$\mathrm{UFO}$の予測飛行ルート上の点で，点$\mathrm{C}$に最も近い点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

(4)　$\mathrm{UFO}$発見の報告で，$4$時$5$分にヘリコプターが分速$1$で点$\mathrm{C}$から(3)の点$\mathrm{R}$に向かって直進した．ヘリコプターと$\mathrm{UFO}$のどちらが先に点$\mathrm{R}$に到着したか．理由とともに答えよ．