2009　愛知教育大学　前期MathJax

【１】　不等式

($\mathrm{★}$)　$1<{\log }_{x}y<2$

について考える．

問１　不等式($\mathrm{★}$)を満たす実数の組$(x,y)$の例を$0<x<1$および$x>1$の範囲で$1$組ずつあげ，それらが不等式を満たしていることを示せ．

問２　不等式($\mathrm{★}$)を満たす点$(x,y)$の領域を図示せよ．

【２】　実数$t\geqq 0$に対して，座標平面上の点$\mathrm{P}$$(\cos t,\sin t)\text{，}$および点$\mathrm{Q}$$(\cos (5t-t^2),-\sin (5t-t^2))$を考える．

問１　$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$間の距離$d$を求めよ．

問２　$t>0$とする．$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が同一の点となる$t$の最小値$t_0$を求めよ．

問３　$0\leqq t\leqq t_0$での$d$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．

【３】　座標平面上に$3$点$\mathrm{A}$$(8,7)\text{，}$$\mathrm{B}$$(6,-2)\text{，}$$\mathrm{C}$$(1,1)$をとり，$\mathrm{▵ABC}$の垂心を$\mathrm{H}$とする．$s\text{，}$$t$を$\overrightarrow{\mathrm{CH}}=s\overrightarrow{\mathrm{CA}}+t\overrightarrow{\mathrm{CB}}$をみたす実数とするとき，以下の問いに答えよ．ここで三角形の垂心とは，三角形の$3$つの頂点からそれぞれの対辺またはその延長に下ろした垂線の交点のことである．なお，この$3$本の垂線は$1$点で交わることが知られている．

問１　垂心の条件を用い，$s\text{，}$$t$が満たす連立$1$次方程式を導け．

問２　問１の連立$1$次方程式を解き，$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

【４】　$x>0$で定義された関数

$f(x)=x{(1+\log x)}^2$

について考える．

問１　$0<x<{\displaystyle \frac{1}{e}}$のとき，$0<\sqrt{x}{(1+\log x)}^2\leqq {\displaystyle \frac{16}{\sqrt{e^5}}}$を示せ．ただし，$e$は自然対数の底である．

問２　$\underset{x\to +0}{\lim }f(x)=0$を示せ．

問３　関数$y=f(x)$の極値および変曲点の座標を求め，グラフの概形を描け．

【５】　係数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$が実数である$x$の整式$f(x)=2x^3+a{x}^2+bx+c$を考える．ここで$f(x)$は次の$2$つの条件を満たすものとする．

(Ⅰ)　$f(x)$は$x^2+2x-1$で割り切れる

(Ⅱ)　方程式$f(x)=0$は$3$つの相異なる実数解を持ち，それらは等差数列となる

　このときの$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の組をすべて求めよ．

【６】　$3$点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(3,0)$に対して，$\mathrm{\angle PAB}=3\mathrm{\angle OPA}$となる点を$\mathrm{P}$$(x,y)$とする．$r=\mathrm{OP}\text{，}$$\theta =\mathrm{\angle AOP}$とするとき，以下の問いに答えよ．

問１　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$のときの$r$の値を求めよ．

問２　$r$を$\cos \theta$の式で表せ．

【７】　次の極限値を計算せよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\pi }{n}}\{{\displaystyle \frac{1}{\sin {\displaystyle \frac{\pi (n+1)}{4n}}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sin {\displaystyle \frac{\pi (n+2)}{4n}}}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{\sin {\displaystyle \frac{\pi (n+n)}{4n}}}}\}$

志望別問題選択一覧

数学選修・数学専攻・情報選修・情報専攻・教育科学専攻（数学）　【３】，【４】，【５】，【６】，【７】必答

理科選修，理科専攻，自然科学コース，教育科学専攻（理科）　【１】，【２】，【３】必答

技術専攻・情報科学コース，教育科学専攻（技術）　【１】，【２】必答，【３】，【４】から１題選択