2009　愛知教育大学　後期MathJax

【１】　$2$次関数$y=4x^2$上の異なる$2$点$\mathrm{P}$$(p,4p^2)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(q,4q^2)$それぞれにおける接線の交点を$\mathrm{R}$とする．ただし$p>q$とする．

問１　交点$\mathrm{R}$の座標を$p\text{，}$$g$を用いて表せ．

問２　交点$\mathrm{R}$の通りうる領域を求め，図示せよ．

問３　三角形$\mathrm{PQR}$の面積を一定値$8$に保ちながら$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が$y=4x^2$上を動くとき，$\mathrm{R}$が描く軌跡の方程式を求めよ．

【２】　直線$y=x$に関する対称移動を表す行列を$A\text{，}$直線$y=3x$に関する対称移動を表す行列を$B$とする．

問１　点$(1,0)\text{，}$点$(0,1)$は直線$y=x$に関する対称移動によってそれぞれどのような点に移るか求めよ．

問２　点$(1,0)\text{，}$点$(0,1)$は直線$y=\sqrt{3}x$に関する対称移動によってそれぞれどのような点に移るか求めよ．

問３　行列$A\text{，}$$B$を求めよ．

問４　$C=BA$とする．点$(1,0)$は$C^{2009}$の表わす移動によってどのような点に移るか求めよ．

【３】問１　$\sin {\displaystyle \frac{\pi }{12}}\text{，}$$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{12}}\text{，}$$\sin {\displaystyle \frac{5}{12}}\pi \text{，}$$\cos {\displaystyle \frac{5}{12}}\pi$の値を求めよ．

問２　半径$1$の円に内接し，$\mathrm{\angle BAC}={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$である$\mathrm{▵ABC}$の周の長さの最大値とそのときの$\mathrm{\angle ABC}$を求めよ．

【４】　$t$を実数とする．曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$と$3$直線$x={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$y=t$で囲まれた部分を直線$y=t$の周りに$1$回転してできる回転体の体積を$V$とする．

問１　$V$を求めよ．

問２　問１の$V$を最小とする$t$の値と，そのときの$V$の値を求めよ．

【５】問１　$n$を正の整数とする．不等式$2^n\geqq n^2+n$はどのような$n$に対して成立し，どのような$n$に対しては成立しないかを推測せよ．

問２　問１で推測したことを数学的帰納法によって証明せよ．