2009　滋賀大学　前期MathJax

【１】　$k$を定数とする．円$C\text{：}{x}^2-4x+y^2-6y+1=0$と直線$l_1\text{：}x+3y-k=0$について，次の問いに答えよ．

(1)　$C$の中心$\mathrm{P}$を通り，$l_1$に垂直な直線$l_2$の方程式を求めよ．

(2)　$l_1$と$l_2$の交点$\mathrm{H}$の座標を$k$を用いて表せ．また，$\mathrm{P}$と$\mathrm{H}$の距離を$k$を用いて表せ．

(3)　$C$と$l_1$が異なる$2$点$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$で交わり，線分$\mathrm{AB}$の長さが$C$の半径に等しいとき，$k$の値と$\mathrm{▵PAB}$の内接円の半径を求めよ．

【２】　$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$${\mathrm{P}}_0$$(6,0)\text{，}$${\mathrm{Q}}_0$$(6,3)$を頂点とする$\mathrm{▵O}{\mathrm{P}}_0{\mathrm{Q}}_0$において，辺$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_0\text{．}$$\mathrm{O}{\mathrm{Q}}_0\text{，}$${\mathrm{P}}_0{\mathrm{Q}}_0$上にそれぞれ点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{Q}}_1\text{，}$${\mathrm{R}}_1$をとり，四角形${\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_1{\mathrm{R}}_1$が正方形になるようにする．そのとき，点${\mathrm{Q}}_1$の座標を$(a_1,b_1)\text{，}$正方形${\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_1{\mathrm{R}}_1$の面積を$m_1$とおく．

　次に$\mathrm{▵O}{\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_1$において，辺$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1\text{，}$$\mathrm{O}{\mathrm{Q}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_1$上にそれぞれ点${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{Q}}_2\text{，}$${\mathrm{R}}_2$をとり，四角形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{Q}}_2{\mathrm{R}}_2$が正方形になるようにする．そのとき，点${\mathrm{Q}}_2$の座標を$(a_2,b_2)\text{，}$正方形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{Q}}_2{\mathrm{R}}_2$の面積を$m_2$とおく．

　これをくり返し，正方形${\mathrm{P}}_{k-1}{\mathrm{P}}_k{\mathrm{Q}}_k{\mathrm{R}}_k$を作り，点${\mathrm{Q}}_k$の座標を$(a_k,b_k)\text{，}$正方形${\mathrm{P}}_{k-1}{\mathrm{P}}_k{\mathrm{Q}}_k{\mathrm{R}}_k$の面積を$m_k$とおく．ただし，$k=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots$である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_s\text{，}$$b_k\text{，}$$m_k$をそれぞれ$k$を用いて表せ．

(2)　$n$を自然数として，$S_k={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{m}_k$とおく．このとき，$S_n$が$\mathrm{▵O}{\mathrm{P}}_0{\mathrm{Q}}_0$の面積の${\displaystyle \frac{3}{4}}$倍以上になる$n$のうち，最小のものを求めよ．

(3)　$S_n$は$n$の値によらず，$\mathrm{▵O}{\mathrm{P}}_0{\mathrm{Q}}_0$の面積の${\displaystyle \frac{4}{5}}$倍より小さいことを示せ．

【３】　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人があるゲームをくり返し行い，先に$4$勝した方を優勝とする．$1$回ごとのゲームで$\mathrm{A}$が勝つ確率が${\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$$\mathrm{B}$が勝つ確率が${\displaystyle \frac{2}{3}}$のとき，次の問いに答えよ．

(1)　ちょうど$6$回目のゲームで$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．

(3)　どちらかが優勝するまでに必要なゲームの回数の期待値を求めよ．

【４】　$x\geqq -1$のとき，関数$f(x)$を$f(x)={\displaystyle {\int }_x^{x+1}}|t^2-1|\mathit{dt}$で定める．このとき，$y=f(x)$の極値を求め，グラフをかけ．