2009　滋賀大学　後期MathJax

【１】　$m$を正の定数とする．$x$の$2$つの$3$次方程式

$x^3+2x^2-(m+3)x-3m=0$

$x^3-6x^2-(m-5)x+5m=0$

の解がすべて整数であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　これらの$3$次方程式は，$2$つの共通する解を持つことを示せ．

(2)　$m$のとり得る最小の値と，そのときの共通解を求めよ．

(3)　$m$の値を最小のものから小さい順に$n$個ならべたとき，それらの総和を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=6\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AČ}}\right|=5\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{BČ}}\right|=\sqrt{13}$のとき，$\cos \mathrm{\angle BAC}$の値と$\mathrm{▵ABC}$の面積を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{x}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{y}$のとき，$\mathrm{▵ABC}$の面積は，${\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{{\left|\overrightarrow{x}\right|}^2{\left|\overrightarrow{y}\right|}^2-{(\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y})}^2}$で表されることを示せ．

(3)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=\sqrt{5}\text{，}$$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=3\text{，}$$|2\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=6$のとき，$\mathrm{▵ABC}$の面積を求めよ．

【３】　$1$から$5$までの整数がそれぞれ$1$つずつ書かれたカードが$5$枚ある．この中から$1$枚ずつカードを取り出す．ただし，取り出したカードは元に戻さないものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　偶数が書かれたカードが出るまでカードを取り出したとき，取り出したカードの枚数の期待値を求めよ．

(2)　取り出したカードに書かれた整数の総和が5の倍数となるまでカードを取り出したとき，取り出したカードの枚数の期待値を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　不等式$\left|x\right|+\left|y\right|\leqq 3$で表される領域を図示せよ．

(2)　不等式$y\geqq {\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^2+x+{\displaystyle \frac{1}{3}}$で表される領域と，(1)の領域の共通部分は$y$軸によって$2$つの部分に分けられる．$y$軸より左側の部分の面積を$S_1\text{，}$$y$軸より右側の部分の面積を$S_2$とするとき，$S_1$および$S_2$を求めよ．