2009　滋賀医科大学　前期MathJax

【１】　$l\text{，}$$m$を座標平面上の$2$直線とする．$2$次正方行列の定める$1$次変換（点の移動）が$l$上の各点を$m$上に移し，$m$上の各点を$l$上に移すとき，「$l\text{，}$$m$について特別な$1$次変換」と呼ぶ．

(1)　直線$l\text{：}x+y=1\text{，}$$m\text{：}x+2y=1$とするとき，$l\text{，}$$m$について特別な$1$次変換を表す行列をすべて求めよ．

(2)　直線$l\text{：}x+y=1$とする．$l$に平行な直線$m$$\text{（}l\ne m\text{）}$であって，$l\text{，}$$m$について特別な$1$次変換が存在するような$m$をすべて求めよ．

【２】(1)　積分${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{3+x^2}}$を$x=\sqrt{3}\tan \theta$とおいて計算せよ．

(2)　$0\leqq a<x\leqq 1$のとき，次の不等式を証明せよ．

${\displaystyle \frac{x-a}{2}}({\displaystyle \frac{1}{3+a^2}}+{\displaystyle \frac{1}{3+x^2}})<{\displaystyle {\int }_a^x}{\displaystyle \frac{\mathit{dt}}{3+t^2}}$

(3)　$n$が$2$以上の自然数のとき，次の不等式を証明せよ．

${\displaystyle \frac{1}{n}}({\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}{\displaystyle \frac{1}{3+{\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{8}}){\displaystyle \frac{\pi }{6\sqrt{3}}}$

【３】　$a_1=b_1=1$とし

$\{\begin{array}{l}{a}_{n+1}=a_n+2b_n\\ b_{n+1}=a_n+3b_n\end{array}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

で数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$を定める．

(1)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=\infty$を示せ．

(2)　$a_{n+1}{b}_n-a_n{b}_{n+1}$を$a_n\text{，}$$b_n$を使って表し，さらに$a_{n-1}\text{，}$$b_{n-1}$を使って表せ$\text{（}n\geqq 2\text{）．}$

(3)　$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}$を求めよ．

【４】　半径をそれぞれ$r\text{，}$$r_1\text{，}$$r_2$とし中心をそれぞれ$\mathrm{O}\text{，}$${\mathrm{O}}_1\text{，}$${\mathrm{O}}_2$とする異なる定円$O\text{，}$$O_1\text{，}$$O_2$があって，円$O_1$と$O_2$は接しており，円$O$と$O_1\text{，}$円$O$と$O_2$はそれぞれ直交している．ただし$2$つの円が直交するとは，共有点をもち，そこでの接線が直交することである．共有点をもつ$2$直線が直交するとは，垂直なことである．

(1)　線分$\mathrm{O}{\mathrm{O}}_1$の長さを$r\text{，}$$r_1\text{，}$$r_2$のいくつかを使って表せ．

(2)　直線${\mathrm{O}}_1{\mathrm{O}}_2$に点$\mathrm{O}$から下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とするとき，線分${\mathrm{O}}_1\mathrm{H}$の長さを$r\text{，}$$r_1\text{，}$$r_2$のいくつかを使って表せ．

(3)　円$O_1$と円$O_2$の接点は円$O$上にあることを証明せよ．

【５】　横一列に並んだ$6$枚の皿に，左から順番に$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6$の番号を付けて，$3$個の黒石と$3$個の白石を$1$つずつ皿に載せる．例えば(●●○●○○)によって，$1\text{，}$$2\text{，}$$4$の皿に黒石が，$3\text{，}$$5\text{，}$$6$の皿に白石が載った石の配置を表す．

　ある配置に対して，サイコロ$2$つを同時に投げて目$x\text{，}$$y$が出たとき，$x\ne y$ならば番号$x$と$y$の皿の石を入れ替え，$x=y$ならばなにもしない，という規則で新しい配置を作る操作を$S$と表す．

　操作$S$の結果が(●●●○○○)となり得る配置の集合を$A_1$とし，$S$の結果が(○○○●●●)となり得る配置の集合を$A_2$とする．

(1)　集合$A_1$に属する配置をすべて挙げよ．

(2)　集合$A_1$と$A_2$の両方に属する配置は存在しないことを示せ．

(3)　石の配置は，集合$A_1$または$A_2$のいずれかに属することを示せ．

(4)　(●○●○●○)に操作$S$を行なった結果の配置が集合$A_1$に属する確率を求めよ．

(5)　(○●○●○)に操作$S$を行なった結果の配置にさらに操作$S$を行ったときの結果の配置，つまり，$S$を$2$度続けて得られる配置が(●●●○○○)と一致する確率を求めよ．