2009　奈良女子大学　前期

2009-10631-0101

2009　奈良女子大学　前期

理学部

易□　並□　難□

【１】(1)　 $2$ 次正方行列 $A$ が， $A (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$ かつ $A (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$ をみたすとき． $A$ を求めよ．

(2)　 $p ，$ $q$ は定数で， $q$ は $0$ でないとする． $2$ 次正方行列 $A$ が， $A (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$ かつ $A (\begin{matrix} p \\ q \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$ をみたすとき， $A^{2} = A$ であることを示せ．

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2009　奈良女子大学　前期

理学部

易□　並□　難□

【２】　直線 $y = 2 x$ を $l_{1}$ とし，直線 $y = - x$ を $l_{2}$ とする． $k$ を定数とし，直線 $y = k x + 1$ を $l$ とする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　直線 $l$ と $2$ 直線 $l_{1} ，$ $l_{2}$ との交点の $y$ 座標が，ともに正となるような $k$ の値の範囲を求めよ，

(2)　 $k$ の値が(1)で求めた範囲にあるとき， $3$ 直線 $l_{1} ，$ $l_{2} ，$ $l$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ．

(3)　(1)で求めた $k$ の値の範囲で， $S$ を最小にする $k$ の値と $S$ の最小値を求めよ．

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2009　奈良女子大学　前期

理学部

易□　並□　難□

【３】　 $100$ 枚のカードに， $1$ から $100$ までの番号がつけられている．これらのカードをすべて袋に入れる．この袋からカードを $1$ 枚取り出し，そのカードの番号を $X$ とする．取り出したカードを袋に戻し，再び袋からカードを $1$ 枚取り出し，そのカードの番号を $Y$ とする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　 $X + Y$ が偶数となる確率を求めよ．

(2)　 $X + Y ≦ 5$ となる確率を求めよ．

(3)　 $X + Y ≦ n$ となる確率が $\frac{1}{4}$ であるような自然数 $n$ は存在しないことを示せ．

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2009　奈良女子大学　前期

生活環境学部

易□　並□　難□

【４】(1)　 $4^{7}$ を $27$ で割ったときの余りを求めよ．

(2)　 $4^{31}$ を $27$ で割ったときの余りを求めよ．

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生活環境学部

易□　並□　難□

【５】　立方体の頂点の $1$ つを $A$ とし， $A$ を含む $3$ つの面を正方形 $ABEC ，$ 正方形 $ACFD ，$ 正方形 $ADGB$ とする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　辺 $BE ，$ $EC$ の中点をそれぞれ $P ，$ $Q$ とし，辺 $CF ，$ $FD$ の中点をそれぞれ $R ，$ $S$ とする．このとき， $PQ$ を $2 : 1$ に外分する点と $RS$ を $1 : 2$ に外分する点が一致することを示せ．

(2)　さらに辺 $DG ，$ $GB$ の中点をそれぞれ $T ，$ $U$ とすると， $6$ 個の点 $P ，$ $Q ，$ $R ，$ $S ，$ $T ，$ $U$ は同じ平面上にあることを示せ．

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2009　奈良女子大学　前期

生活環境学部

易□　並□　難□

【６】　関数 $f (x) = \frac{3^{x} + 3^{- x}}{2}$ について，次の問いに答えよ．

(1)　つねに $f (x) ≧ 1$ が成り立つことを示せ．

(2)　 $1$ 以上の定数 $k$ に対し，方程式 $f (x) = k$ を解け．

(3)　正の定数 $a$ に対し，方程式 $f (x) = 2 {f (a)}^{2} - 1$ の正の解を求めよ．