2009　奈良女子大学　後期

${\displaystyle \frac{ax}{ax+a+1}}=(a+1)x+1$

の解を求めよ．ただし$a$は$-1$でない定数とする．

(1)　正の実数$x$に対し，$\log (1+x)<x$が成り立つことを示せ．

(2)　正の実数$a\text{，}$$b$が$0<a<b<{\displaystyle \frac{11}{10}}a$をみたすとき，

$0<\log b-\log a<{\displaystyle \frac{1}{10}}$

を示せ．

$4\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}}$

をみたしているとする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　直線$\mathrm{AC}$と直線$\mathrm{PB}$の交点を$\mathrm{D}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S\text{，}$三角形$\mathrm{PBC}$の面積を$T$とする．比$S:T$を求めよ．

(1)　$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の距離が$10$となったとき，表が出た回数と裏が出た回数の組をすべて求めよ．

(2)　硬貨を$7$回投げる．$7$回進めたとき，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の距離が$10$となる確率を求めよ．

(3)　硬貨を$7$回投げる．$7$回進める間に，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の距離が$10$となる確率を求めよ．