2009　鳥取大学　前期

(1)　$h_n$（$n$は自然数）を$n$を用いて表せ．

(2)　$h_1+h_2+\cdots +h_n$を求めよ．

$h_1=1$	$h_2=7$	$h_3=19$	$h_4=37$

(1)　直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　直線$l$と放物線$C$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S_1$を求めよ．

(3)　直線$l$と放物線$C$および$x$軸で囲まれた図形の面積$S_2$を求めよ．

(1)　曲線$C_1$と曲線$C_2$の交点の座標を求めよ．

(2)　曲線$C_1$と曲線$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

(1)　法線$L$の方程式を求めよ．

(2)　放物線$C$が三角形$\mathrm{OQR}$の面積を二等分するときの$a$の値を求めよ．

(3)　関数$y=\sqrt{2x}$のグラフとその逆関数のグラフとで囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

(1)　自然数$n$に対して，関数$f(x)$を$n$回微分して得られる関数$f^{(n)}(x)$を求めよ．

(2)　自然数$n$に対して，

$f(a)$$=1+a+a^2+\cdots +a^{n-1}$$+{\displaystyle {\int }_0^a}{\displaystyle \frac{n{(a-x)}^{n-1}}{{(1-x)}^{n+1}}}\mathit{dx}$(★)

が成り立つことを数学的帰納法により証明せよ．ただし$0<a<1$とする．

(3)　前問(2)の(★)式右辺において，積分で表される項を次のように$R_n(a)$とする．

$R_n(a)={\displaystyle {\int }_0^a}{\displaystyle \frac{n{(a-x)}^{n-1}}{{(1-x)}^{n+1}}}\mathit{dx}$

　$0<a<1$のとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{R}_n(a)$を求めよ．