2009　鳥取大学　後期工学部

2009-10661-0201

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易□　並□　難□

【１】　 $2$ つの放物線 $C_{1} ： y = \frac{1}{4} x^{2} ，$ $C_{2} ： y = \frac{1}{4} x^{2} - x + 2$ について，次の問いに答えよ．

(1)　放物線 $C_{1}$ と $C_{2}$ の両方に接する直線(共通接線)の方程式を求めよ．

(2)　放物線 $C_{1}$ と $C_{2} ，$ および前問(1)で求めた直線によって囲まれた図形の面積を求めよ．

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易□　並□　難□

【２】　円 $C ： x^{2} + y^{2} = 4$ 上に点 $A$ $(a, b)$ をとる．ただし， $b > 0$ とする． $A$ から $x$ 軸に下ろした垂線を $AB$ とする． $A$ を中心として線分 $AB$ の長さを半径とする円が，円 $C$ と交わる点を $Q ，$ $R$ とし，直線 $AB$ と直線 $QR$ との交点を $P$ とする．

(1)　直線 $QR$ の方程式を求めよ．

(2)　点 $P$ の座標を $a ，$ $b$ で表せ．

(3)　点 $A$ が円 $C$ 上の $y > 0$ の範囲を動くとき，点 $P$ の軌跡の方程式を求めよ．

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易□　並□　難□

【３】　行列 $A = (\begin{matrix} - 1 & - \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & - 1 \end{matrix})$ について，次の問いに答えよ．

(1)　 $A$ で表される座標平面上の点の移動によって，点 $P$ $(x, y)$ が点 $Q$ $(x^{'}, y^{'})$ に移るとき， $| \vec{OQ} |$ は $| \vec{OP} |$ の何倍かを求めよ．また， $\vec{OP}$ と $\vec{OQ}$ のなす角 $θ$ $（ 0 ≦ θ ≦ π ）$ を求めよ．ただし， $O$ は原点を表し， $P$ は $O$ と異なるとする．

(2)　 $A^{n}$ を求めよ．ただし $n$ は自然数とする．

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易□　並□　難□

【４】　関数 $f (x) = \frac{\log x}{z}$ $（ x > 0 ）$ について，次の問いに答えよ．

(1)　関数 $y = f (x)$ の導関数を求めよ．

(2)　関数 $y = f (x)$ の極値を求めよ．

(3)　自然対数の底 $e$ と円周率 $π$ について， $f (e)$ と $f (π)$ の大小を比較せよ．

(4)　 $e^{π}$ と $π^{e}$ の大小を比較せよ．

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