2009　島根大学　前期MathJax

(1)　$2$人が各自の袋から中を見ないで$1$個取り出すとき，$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めよ．

(2)　$4$回の対戦を次のように行う．$\mathrm{A}$は袋の中を見て$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4$の順に玉を取り出し，Bは袋の中を見ないで$1$個ずつ取り出す．ただし，取り出した玉は袋に戻さないとする．このとき，$\mathrm{A}$がちょうど$2$勝する確率を求めよ．さらに，$\mathrm{A}$がちょうど$1$勝する確率を求めよ．

$x^3+(a+1)x^2+(2a+b-1)x+2b+2=0$

は実数解と虚数解をもつとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　上の方程式の実数解を求めよ．

(2)　$a\text{，}$$b$が満たす不等式を求めよ．

(3)　$a\text{，}$$b$が共に整数で，$b\leqq 1$であるような組$(a,b)$をすべて求めよ．

(1)　立体$P$の体積を$a\text{，}$$b\text{，}$$h$を用いて表せ．

(2)　辺$\mathrm{AE}$の長さを$a\text{，}$$b\text{，}$$h$を用いて表せ．

(3)　$a=10\text{，}$$b=8\text{，}$$h=\sqrt{15}$であるとき，立体$P$の表面積を求めよ．

$C\text{：}y=x^2+ax+{\displaystyle \frac{b}{4}}$

について，次の問いに答えよ．

(1)　曲線$C$が連立不等式

$\{\begin{array}{l}y\geqq x\\ y\geqq -2x-{\displaystyle \frac{3}{4}}\end{array}$

の表す領域に含まれているとき，$a\text{，}$$b$の条件を求めよ．

(2)　曲線$C$が$2$直線

$l\text{：}y=x\text{，}$$m\text{：}y=-2x-{\displaystyle \frac{3}{4}}$

のどちらとも接するときの$a\text{，}$$b$の値を求め，そのときの曲線$C$と$2$直線$l\text{．}$$m$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}\sqrt{a_n}=8$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たしている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$b_n={\log }_2{a}_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$とおくとき，$b_{n+1}$と$b_n$の間に成り立つ関係式を求めよ．

(2)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(1)　空間内の$3$点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(2,2,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(t,1,1+t)$を頂点とする$\mathrm{▵OAB}$の面積$S(t)$を求めよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_1^e}{S(t)}^2\log t\mathit{dt}$を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底，$\log$は自然対数とする．

$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ b_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\text{，}$$\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ b_n\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{a}_{n-1}\\ b_{n-1}\end{array}\right)$$\text{（}n=2\text{，}3\text{．}\cdots \text{）}$

と定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　原点を$\mathrm{O}$とするとき，$\mathrm{▵}\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$と$\mathrm{▵}\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3$とを図示せよ．

(2)　$\mathrm{▵}\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$の面積を$S_n$とするとき，比$S_n:S_{n+1}$を求めよ．

(3)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{S}_n$を求めよ．

(1)　$f(x)$の$-1\leqq x\leqq 1$における最大値$M(a)$および最小値$m(a)$を$a$を用いて表せ．

(2)　$y=f(x)$と$y=\left|x\right|$とのグラフが相異なる$4$点で交わるような$a$の範囲を求めよ．

(3)　(2)のとき，$M(a)-m(a)$が最小となる$a$の値を求めよ．

(1)　$a\text{，}$$b$を実数とする．$\overrightarrow{v}=(a,b,1)$としたとき，$\overrightarrow{v}$がベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に直交するような$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$の成分表示を求めよ．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$および$\mathrm{▵ABC}$の面積$S$を求めよ．

(4)　四面体$\mathrm{OABC}$に内接する球の半径$r$を求めよ．

(1)　曲線$C$の変曲点の座標をすべて求めよ．

(2)　$x$座標が正である変曲点における接線$l$が原点$(0,0)$を通るときの$k$の値を求めよ．

(3)　(2)のとき，曲線$C$と接線$l$および$y$軸によって囲まれた図形の面積を求めよ．

$C_1\text{：}y=x^2+kx\text{，}$$C_2\text{；}y=-x^2+k^2+{\displaystyle \frac{9}{4}}k+{\displaystyle \frac{9}{8}}$

で囲まれた図形の面積を$S_k$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$S_k$を求めよ．

(2)　$S_k\leqq 9$となる確率を$n$を用いて表せ．

(3)　$n=5$のとき，${({\displaystyle \frac{\mathrm{S}}{9}}{S}_k)}^{\frac{1}{3}}$の期待値を求めよ．

(1)　方程式$f(x)\mathrm{=}0$は区間$(0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$にただ$1$つの解$t$をもつことを示せ．また，この解$t$と$a$との関係式を求めよ．

(2)　積分$I={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}|f(x)|\mathit{dx}$を(1)で定めた$t$を用いて表せ．

(3)　$t$の関数として表された積分$I$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

(1)　$a={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$b=1$のとき，$S$の異なる要素をすべて求めよ．

(2)　すべての自然数$k$に対して$X^{2k-1}={(2ab)}^{k-1}X$となることを示せ．

(3)　$S$の要素は$3$個ではないことを示せ．