2009　島根大学　後期総合理工学部MathJax

(1)　$O_1$と$O_2$が外接する確率を$n$を用いて表せ．

(2)　$O_1$と$O_2$が$2$点で交わる確率を$n$を用いて表せ．

(3)　$O_1$と$O_2$の交点の数の期待値を求めよ．

(1)　点$(0,0)$から曲線$C$への接線の方程式をすべて求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$$(t,2t)$から曲線$C$への接線は，必ず$2$本引けることを示せ．また，それらの接点の$x$座標をそれぞれ$\alpha \text{，}$$\beta$とするとき，

$\{\begin{array}{l}\alpha +\beta =2t\\ \alpha \beta =2t-4\end{array}$

が成り立つことを示せ．

(3)　(2)において$t$が$-1\leqq t\leqq 1$を動くとき，${\alpha }^3+{\beta }^3$の最大値，最小値を求めよ．

(1)　関数$f_n(x)$の極値と変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^1}{f}_n(x)\mathit{dx}$を求めよ．

$f_0(x)=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{7}}x\text{，}$$f_1(x)={\displaystyle \frac{x}{4}}\sin {\displaystyle \frac{\pi }{7}}x\text{，}$

$f_2(x)={\displaystyle \frac{3}{2}}(1-|{\displaystyle \frac{2}{7}}x-1\left|\right)\sin {\displaystyle \frac{\pi }{7}}x$

について，次の問いに答えよ．ただし，$\pi$は円周率を表し$3.1<\pi <3.2$である．

(1)　曲線$y=f_n(x)$$\text{（}0\leqq x\leqq 7\text{）}$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を$S_n$とするとき，$S_0\text{，}$$S_1\text{，}$$S_2$を求めよ．

(2)　$S_0\text{，}$$S_1\text{，}$$S_2$の大小を比較せよ．