2009　広島大学　後期MathJax

【１】　四角形$\mathrm{ABCD}$の各辺の中点を図のように$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$とする．また，線分$\mathrm{PR}$と$\mathrm{QS}$の交点を$\mathrm{T}$とする．

(1)　$\mathrm{T}$は線分$\mathrm{PR}$の中点であることを示せ．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$の重心を${\mathrm{D}}^{\prime }$としたとき，$3$点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{T}\text{，}{\mathrm{D}}^{\prime }$は一直線上にあることを示せ．

(3)　三角形$\mathrm{ABD}\text{，}\mathrm{ACD}\text{，}\mathrm{BCD}$の重心をそれぞれ${\mathrm{C}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{A}}^{\prime }$とする．このとき，四角形${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }{\mathrm{D}}^{\prime }$は四角形$\mathrm{ABCD}$に相似であることを示し，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積と四角形${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }{\mathrm{D}}^{\prime }$の面積の比を求めよ．

(4)　対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の長さが等しいとき，線分$\mathrm{PR}$と$\mathrm{QS}$は直交することを示せ．

【２】　$1$辺の長さが$1$の正方形$A_1$がある．$A_1$の各辺を，時計回りにそれぞれ$a:1-a\text{（}0<a<1\text{）}$に内分する点を結んでできる正方形を$A_2$とする．同様の手続きで，正方形$A_k$から正方形$A_{k+1}$を作る（$k=1\text{，}2\text{，}\cdots$）．正方形$A_k$の面積を$S_k$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$S_2$を$a$の式で表せ．

(2)　$S_k$を$k$と$a$の式で表せ．

(3)　無限級数${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{S}_k$が収束することを示し，その和$S$を$a$の式で表せ，

(4)　$S$を最小にする$a$を求めよ．

【３】　$1$から$9$までの番号を$1$つずつ書いた$9$個の玉が袋の中に入っている．よくかき混ぜてから玉を$3$個取り出し，その番号を$a\text{，}b\text{，}c$（ただし$a<b<c$）とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$3$つの番号の積$abc$が奇数である確率を求めよ．

(2)　$c\geqq 7$である確率を求めよ．

(3)　$a$の期待値を求めよ．

【４】　$k$を正の定数とする．直線$y=-k$と，原点$\mathrm{O}(0,0)$から等しい距離にある点の軌跡を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$C$の方程式を求めよ．

(2)　原点$\mathrm{O}$を通る直線$y=mx$と$C$との$2$つの交点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．交点$\mathrm{P}$における$C$の接線の傾きを$\tan p\text{，}$交点$\mathrm{Q}$における$C$の接線の傾きを$\tan q$とするとき，$\tan p\tan q$と$\cos (p-q)$の値を求めよ．

【５】　$f(x)=||x|-1|$とし，実数$t$に対して$G(t)$を

$G(t)={\displaystyle {\int }_0^1}f(x-t)f(x)dx$

とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$と$y=f(x-1)$のグラフをかけ．

(2)　$G(0)$と$G(1)$の値をそれぞれ求めよ．

(3)　$0\leqq t\leqq 1$のとき，$G(t)$を求めよ．

(4)　$G(t)\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$の最大値，最小値を求めよ．

【１】　$xy$平面上の直線$L:y=ax+b$と原点を中心とする半径$1$の円$C$を考える．$L$と$C$が領域$x\geqq 0$で少なくとも一つの共有点を持つために$a\text{，}b$が満たすべき条件を求め，その条件を満たす点$(a,b)$全体を$ab$平面上に図示せよ．

【２】　次の行列$A\text{，}B$によって表される座標平面上の$1$次変換を，それぞれ$f\text{，}g$とする．

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$

以下の問いに答えよ．

(1)　原点$\mathrm{O}$以外の点$\mathrm{P}(x,y)$で，$g$による像が$(x,y)$となるものを一つ求めよ．

(2)　原点$\mathrm{O}$以外の点$\mathrm{Q}(x,y)$で，$g$による像が$(-x,-y)$となるものを一つ求めよ．また，$\angle \mathrm{POQ}$を求めよ．

(3)　$1$次変換$g$がどのような変換であるか答えよ．また，その理由を簡単に述べよ．

(4)　合成変換$g\circ f$がどのような変換であるか述べよ．

(5)　自然数$n$に対して，$1$次変換$h_n$を合成変換によって次のように定める．

$h_1=f\text{，}{h}_2=g\circ f\text{，}{h}_3=f\circ g\circ f\text{，}{h}_4=g\circ f\circ g\circ f\text{，}\cdots$

　このとき，$h_n$が恒等変換となる最小の自然数$n$を求めよ．

【３】　円$C:x^2+y^2=1$と直線$L:x=\cos \alpha$を考える．ただし，$0<\alpha <\pi$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$x$軸上に中心$(a,0)$を持ち，$C$と$L$の両方に接する円$C^{\prime }$の方程式を求めよ．ただし，$a>\cos \alpha$とする．

(2)　三つの領域

$x\geqq \cos \alpha \text{，}$円$C$の内部，円$C^{\prime }$の外部

の共通部分の面積$S(\alpha )$を求めよ．

(3)　$S(\alpha )$の導関数$S^{\prime }(\alpha )$に対して

$S^{\prime }(\alpha )=\sin \alpha (p\sin \alpha +q\cos \alpha +r)$

を満たす定数$p\text{，}q\text{，}r$の値を求めよ．

(4)　$S(\alpha )$が最大となるときの$\cos \alpha$の値を求めよ．

【４】　座標平面上を運動する点$\mathrm{P}$を考える．時刻$t\geqq 0$における点$\mathrm{P}$の座標$(x(t),y(t))$は

$x(t)=e^{-3t}\cos 4t\text{，}y(t)=e^{-3t}\sin 4t$

で与えられている．以下の問いに答えよ．

(1)　時刻$t$における点$\mathrm{P}$の極座標$(r(t),\theta (t))$を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$が直線$y=(\tan \alpha )x$を通過する時刻を

$0<t_1<t_2<t_3<\cdots$

とする．時刻$t_n$を求めよ．ただし，$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(3)　時刻$t$における点$\mathrm{P}$の速さ$v(t)$を求めよ．

(4)　時刻$t_n$から時刻$t_{n+1}$までの間に点$\mathrm{P}$が描く曲線の長さ

$L_n={\displaystyle {\int }_{t_n}^{t_{n+1}}}v(t)dt$

を求めよ．

(5)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{L}_n$の和を求めよ．

【５】　図のような三角形の頂点$\mathrm{A}$に駒を置き，一つのサイコロを$n$回投げる．出た目の合計の数だけ，駒を頂点から頂点へ反時計回りに移動させる．たとえば，出た目の合計の数が$4$のとき，$\mathrm{A}\to \mathrm{B}\to \mathrm{C}\to \mathrm{A}\to \mathrm{B}$と駒を移動させる．以下の問いに答えよ．

(1)　$n=1$のとき，移動させた後の駒が$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$にある確率をそれぞれ求めよ．

(2)　$n$回投げたとき，移動させた後の駒が$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$にある確率をそれぞれ求めよ．

(3)　$n=2$のとき，駒が$\mathrm{B}$を通過する回数の期待値を求めよ．ただし，移動させた後の駒が$\mathrm{B}$にある場合も通過の回数に数える．たとえば，出た目の合計の数が$4$のときの通過の回数は$2$である．

(4)　サイコロを$n$回投げたとき，駒が頂点$\mathrm{B}$を$2n$回通過する確率を求めよ．