2009　愛媛大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　方程式$x^2+2|x-1|-5=0$を解け．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　${50}^2-{49}^2+{48}^2-{47}^2+\cdots +2^2-1^2$を計算せよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$i^{2009}$を計算せよ．ただし，$i$は虚数単位である．また，$x^{2009}$を$x^2+1$で割ったときの余りを求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　${84}^{12}$のけた数を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.301\text{，}$${\log }_{10}3=0.477\text{，}$${\log }_{10}7=0.845$とする．

【１】　次の問いに答えよ．

(5)　平面上の$4$点$(0,1)\text{，}$$(2,3)\text{，}$$(5,1)\text{，}$$(a,b)$を頂点とする四角形が平行四辺形となるような座標$(a,b)$をすべて求めよ．

【２】　表面に$1$から$6$までの数字を$1$つずつ書いた$6$つの球がある．これらの球を箱の中に入れ，同時に$2$つの球を取り出し，その数字の和を得点とする試行を行う．

(1)　得点が次のようになる確率をそれぞれ求めよ．

(ⅰ)　$10$

(ⅱ)　$9$以上

(2)　$\mathrm{A}$さんと$\mathrm{B}$さんがこの球を使ってゲームをする．箱の中から同時に$2$つの球を取り出す試行を行い，その得点を記録し，またもとに戻して相手方にかわる．各自の得点を加算しいき，どちらかの合計得点が$20$以上になるまでこの試行を繰り返し，先に$20$以上になった方を勝者とする．

(ⅰ)　$\mathrm{A}$さんからこのゲームを始めるとき，$\mathrm{A}$さんにとって$2$回目の試行で$\mathrm{A}$さんが勝つ確率を求めよ．

(ⅱ)　$\mathrm{B}$さんからこのゲームを始めるとき，$\mathrm{A}$さんにとって$2$回目の試行で$\mathrm{A}$さんが勝つ確率を求めよ．

【３】　$k\ne \pm 1$とする．$2$直線$l\text{，}$$m$を

$l\text{：}x+ky=3\text{，}$$m\text{：}kx+y=3$

で定め，それらの交点を$\mathrm{P}$とする．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標を$k$を用いて表せ．

(2)　放物線$y=a{x}^2$が点$\mathrm{P}$を通るとき，$a$を$k$を用いて表せ．

(3)　放物線$y=a{x}^2$が点$\mathrm{P}$で直線と接するとする．

(ⅰ)　$k$の値を求めよ．

(ⅱ)　放物線$y=a{x}^2\text{，}$直線$m$および$y$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【４】　$3$点$\mathrm{A}$$(0,-1,3)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,1,4)\text{，}$$\mathrm{C}$$(1,-3,5)$と実数$\theta$に対して，点$\mathrm{P}$は

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=(\sin \theta )\overrightarrow{\mathrm{AB}}+(\cos \theta )\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

をみたすものとする．

(1)　大きさ$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|$および内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の値を求めよ．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|$は$\theta$の値に関係なく一定であることを示せ．

(3)　点$\mathrm{P}$を点$\mathrm{B}$および点$\mathrm{C}$と異なる点とするとき，$\mathrm{▵PBC}$の面積の最大値を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(4)　極限値$\underset{x\to \infty }{\lim }(\sqrt{4x^2+3x+2}-2\sqrt{x^2-x+1})$を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(5)　次の定積分を求めよ．

(ⅰ)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{\sin x}{1+\cos x}}\mathit{dx}$

【５】　次の問いに答えよ．

(5)　次の定積分を求めよ．

(ⅱ)　${\displaystyle {\int }_1^e}{x}^2\log x\mathit{dx}$

【６】　自然数$n$に対して，関数$f_n(x)$を帰納的に

$f_1(x)=x^2-x+1\text{，}$

$f_n(x)=f_{n-1}(x)+n^2{x}^2-nx+3^{n-1}$$\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．

(1)　関数$f_n(x)$を係数$a_n\text{，}$$b_n\text{，}$$c_n$を用いて$f_n(x)=a_n{x}^2+b_{n}x+c_n$と表す．$n\geqq 2$のとき，$a_n\text{，}$$b_n\text{，}$$c_n$をそれぞれ$a_{n-1}\text{，}$$b_{n-1}\text{，}$$c_{n-1}$および$n$を用いて表せ．

(2)　(1)における数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$および$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　数学的帰納法を用いて，すべての自然数$n$に対して$3^n>n+1$が成り立つことを示せ．

(4)　すべての自然数$n$に対して，$x$についての方程式$f_n(x)=0$は実数解をもたないことを示せ．

【７】　$\theta$を実数とし，$xy$平面上で，まず直線$y=x$に関する対称移動を行い，その後原点のまわりの回転角$\theta$の回転移動を行う．この移動の合成を表す行列を$A(\theta )$とする．

(1)　直線$y=x$に関する対称移動，および原点のまわりの回転角$\theta$の回転移動を表す行列をそれぞれ書け．ただし，答えのみでよい．

(2)　$A(\theta )$を求めよ．

(3)　実数$\alpha \text{，}$$\beta$に対して，行列の積$A(\alpha )A(\beta )$は原点のまわりの回転移動を表す行列であることを示し，回転角を$\alpha \text{，}$$\beta$で表せ．

(4)　$\alpha ={\displaystyle \frac{4}{9}}\pi \text{，}$$\beta ={\displaystyle \frac{5}{6}}\pi$のとき${\{A(\alpha )A(\beta )\}}^n=E$となる最小の自然数$n$を求めよ．ただし，$E$は単位行列とする．

【８】　$f(x)=x{e}^{-\frac{x^2}{2}}$とする．$y$軸上の点$\mathrm{P}$$(0,p)$より，曲線$y=f(x)$に異なる$2$本の接線が引けるための$p$のとり得る値の範囲を求めたい．次の問に答えよ．ただし，必要があれば，自然数$k$に対して$\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^k{e}^{-\frac{x^2}{2}}=0\text{，}$$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^k{e}^{-\frac{x^2}{2}}=0$となることを用いてもよい．

(1)　曲線$y=f(x)$上の点$(t,f(t))$における接線の方程式を求めよ．

(2)　(1)で求めた接線の$y$切片を$g(t)$とする．関数$y=g(x)$の増減，極値を調べ，そのグラフをかけ．ただし，グラフの凹凸は調べなくてもよい．

(3)　$p$のとり得る値の範囲を求めよ．

【９】　関数$f(x)$は第$2$次導関数をもち，条件

(ⅰ)　$f(0)>0\text{，}$$f(1)=1$

(ⅱ)　$f^{\prime }(0)>0\text{，}$$0<f^{\prime }(1)<1$

(ⅲ)　すべての実数$x$に対して$f^{″}(x)>0$

をすべてみたすものとする．また，数列$\{x_n\}$を帰納的に

$x_1=0\text{，}$$x_{n+1}=f(x_n)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．

(1)　$0\leqq x<1$のとき

$f(0)\leqq f(x)<1\text{，}$$f^{\prime }(0)\leqq f^{\prime }(x)<f^{\prime }(1)$

であることを示せ．

(2)　すべての自然数$n$に対して

$0<1-x_{n+1}<f^{\prime }(1)(1-x_n)$

が成り立つことを示せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=1$であることを示せ．

志望別問題選択一覧

教育，農学部　【１】，【２】，【３】，【４】

理，工学部　【４】，【５】，【６】，【７】，【８】

医学部　【４】，【６】，【７】，【８】，【９】