2009　愛媛大学　後期MathJax

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(1)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$の$6$人が$1$つのベンチに横一列に座るとき，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が隣り合う座り方は$\text{ア}$通りである．また，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が隣り合わない座り方は$\text{イ}$通りである．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(2)　空間の$3$点$\mathrm{A}$$(1,1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,1,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(1,0,1)$を頂点とする$\mathrm{▵ABC}$の重心の座標は$\text{ウ}$である．また，$\mathrm{▵ABC}$の内接円の半径は$\text{エ}$である．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(3)　行列$\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$で表される移動（$1$次変換）$f$によって，点$\mathrm{P}$$(2,-3)$は座標$\text{オ}$の点に移される．また，$f$によって，座標$\text{カ}$の点は点$\mathrm{P}$に移される．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(4)(ⅰ)　循環小数$2.\stackrel{\cdot }{7}1\stackrel{\cdot }{8}$を分数で表すと$\text{キ}$である．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(4)(ⅱ)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{(1+2+3+\cdots +n)(1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3)}{{(1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2)}^2}}$$=\text{ク}$

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(5)(ⅰ)　$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\log (1+3x)}{x}}=\text{ケ}$

(ⅱ)　$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\log (1+3x)}{\sin 2x}}=\text{コ}$

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(6)(ⅰ)　${\displaystyle \frac{d}{\mathit{dx}}}\left({\displaystyle \frac{x^2}{x-1}}\right)=\text{サ}$

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(6)(ⅱ)　${\displaystyle \frac{d}{\mathit{dx}}}\{\cos (5x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\left)\right\}=\text{シ}$

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{AC}=1\text{，}$$\mathrm{BC}=x\text{，}$$\mathrm{\angle ABC}=\theta$とする．ただし，$3<x<5$とする．$\cos \theta$を$x$を用いて表せ．また，$\cos \theta$の最小値を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(2)　行列$A$で表される移動（$1$次変換）によって，点$(1,2)$は点$(-3,1)$に，点$(3,7)$は点$(-5,2)$に移される．このとき，行列$A$を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(3)　次の等式をみたす関数$f(x)$と定数$a$をすべて求めよ．

${\displaystyle {\int }_a^x}f(t)\mathit{dt}=x^4-4x^3+5x^2-2x$

【２】　次の問いに答えよ．

(4)　$x$の整式$p_n(x)$は，帰納的に

$p_n(0)={\displaystyle \frac{1}{2^n}}\text{，}$$p_n^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{n}{2}}{p}_{n-1}(x)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められる．ただし，$p_0(x)=1$とする．このとき，$p_1(x)$および$p_2(x)$を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(5)　極限値

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log (1+{\displaystyle \frac{1}{n}})+\log (1+{\displaystyle \frac{2}{n}})+\log (1+{\displaystyle \frac{3}{n}})+\cdots +\log (1+{\displaystyle \frac{n}{n}})}{n}}$

を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(6)　導関数の定義にしたがって，関数$f(x)=x^3$を微分せよ．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x^2-3}{{(x^2+1)}^2}}$について，次の問に答えよ．

(1)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　関数$y=f(x)$の増減，極値を調べ，そのグラフをかけ．ただし，グラフの凹凸は調べなくてもよい．

(3)　$x\geqq 0$の範囲において，曲線$y=f(x)\text{，}$$x$軸および$y$軸で囲まれた部分の面積$S$を，$x=\tan \theta$と置き換えることにより求めよ．

【４】　行列$A\text{，}$$B\text{，}$$E$を

$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}& -{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right)\text{，}$$B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\text{，}$$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

とし，$A^k=E$となる自然数$k$の最小値を$n$とする．$l=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n$に対して，$xy$平面上の点$(1,0)$を$A^l$で表される移動（$1$次変換）で移した点を${\mathrm{P}}_l$とする．

(1)　$n$を求めよ．

(2)　${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_n$の座標を求め，それらの点を$xy$平面上に図示せよ．

(3)　${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_n$の中で，$B$で表される移動（$1$次変換）によって，それ自身に移される点をすべて求めよ．

(4)　${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_n$の中で，(3)で求めたもの以外の点を$\mathrm{P}$とし，$B$で表される移動によって，$\mathrm{P}$を移した点を$\mathrm{Q}$とする．${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_n$の中で$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$以外の点$\mathrm{R}$を選び，$\mathrm{▵PQR}$を考える．このような$\mathrm{▵PQR}$の面積の最大値を求めよ．