2009　九州工業大学　前期MathJax

【１】　四面体$\mathrm{OABC}$は$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\sqrt{2}\text{，}\mathrm{OC}=1\text{，}\angle \mathrm{OCA}=\angle \mathrm{OCB}=90°$をみたしている．点$\mathrm{C}$から$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る平面に下ろした垂線とその平面との交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}\text{，}\angle \mathrm{AOB}=\theta$とおいて，次に答えよ．

(ⅰ)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．また，内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を$\theta$を用いて表せ．

(ⅱ)　$\overrightarrow{\mathrm{CH}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$とおくとき，$s$と$t$を$\theta$を用いて表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{CH}}$の大きさ$\left|\overrightarrow{\mathrm{CH}}\right|$を$\theta$を用いて表せ．

(ⅲ)　$▵\mathrm{AOB}$と$▵\mathrm{ACB}$の面積をそれぞれ$S$と$T$とおく．$S=\sqrt{3}T$のとき，$\theta$と$\angle \mathrm{ACB}$を求めよ．

【２】　$2$次の正方行列$A$は

$A\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)\text{，}{A}^2\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ -8\end{array}\right)$

をみたしている．楕円$C:{\displaystyle \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}}=1$上の点を$\mathrm{P}$とし，$A$で表される移動（$1$次変換）で$\mathrm{P}$が移る点を$\mathrm{Q}$とする．次に答えよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．

(ⅰ)　行列$A$を求めよ．

(ⅱ)　点$\mathrm{Q}$が直線$\mathrm{OP}$上にあるとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(ⅲ)　点$\mathrm{P}(\sqrt{3}\cos \theta ,2\sin \theta )$が$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$をみたしながら$C$上を動くとき，線分$\mathrm{OQ}$の長さ$l$の最大値を求めよ．また，最大値をとるときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(ⅳ)　点$\mathrm{P}(\sqrt{3}\cos \theta ,2\sin \theta )$が$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$をみたしながら$C$上を動くとき，$▵\mathrm{OPQ}$の面積$S$の最大値を求めよ．また，最大値をとるときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【３】　次に答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(ⅰ)　$x>0$のとき，不等式$\sqrt{x}\geqq 2+\log {\displaystyle \frac{x}{4}}$を示せ．また，等号が成り立つときの$x$の値を求めよ．

(ⅱ)　曲線$y=2+\log {\displaystyle \frac{x}{4}}$と$x$軸との交点の$x$座標を求めよ．

(ⅲ)　$2$曲線$y=\sqrt{x}\text{（}x\geqq 0\text{）}\text{，}y=2+\log {\displaystyle \frac{x}{4}}$と$x$軸で囲まれた図形を$D$とするとき，$D$の面積$S$を求めよ．

(ⅳ)　(ⅲ)の図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

【４】　$a>2$とする．曲線$C:y={\displaystyle \frac{1}{x^2-1}}\text{（}x>1\text{）}$と$C$の$x=a$における接線$l:y=px+q$について，次に答えよ．

(ⅰ)　$p$と$q$を$a$を用いて表せ．

(ⅱ)　整式$(px+q)(x^2-1)-1$を$p{(x-a)}^2(x-k)$と因数分解したとき，$k$を$a$を用いて表せ．また，$x>1$のとき${\displaystyle \frac{1}{x^2-1}}\geqq px+q$を示せ．

(ⅲ)　曲線$C$と直線$l$および直線$x=2$で囲まれた図形の面積を$S(a)$とするとき，$\underset{a\to \infty }{\lim }S(a)$を求めよ．

【１】　曲線$C:y=x\sqrt{1-x^2}\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$と，直線$l:y=kx$（$k$は実数）を考える．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　曲線$C$上の点で$y$座標が最大となるものの座標を求めよ．

(ⅱ)　曲線$C$と直線$l$が原点以外の交点を持つときの$k$の範囲を求め，その交点の座標を$k$を用いて表せ．

(ⅲ)　実数$k$は(ⅱ)で求めた範囲を動くものとする．原点を$\mathrm{O}\text{，}$(ⅱ)で求めた交点を$\mathrm{P}$とし，曲線$C$と線分$\mathrm{OP}$で囲まれる図形$A$の面積を$S$とする．また点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とし，$▵\mathrm{OPQ}$の面積を$T$とする．$k\geqq {\displaystyle \frac{1}{4}}$のとき，$|S-T|$の最大値および最小値と，そのときの$k$の値をそれぞれ求めよ．

(ⅳ)　(ⅲ)の図形$A$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積が，$▵\mathrm{OPQ}$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積と等しくなるときの$k$の値を求めよ．

【２】　座標平面上に直線$l:y={\displaystyle \frac{1}{3}}x$と点$\mathrm{P}(9,2)\text{，}\mathrm{Q}(5,1)$がある．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　座標平面上の点を$x$軸に関して対称な点に移す移動（$1$次変換）を表す行列$A$を求めよ．

(ⅱ)　座標平面上の点を直線$l$に関して対称な点に移す移動（$1$次変換）を表す行列$B$を求めよ．

(ⅲ)　点$\mathrm{R}$を$x$軸上を動く点とする．このとき，折れ線$\mathrm{PRQ}$の長さの最小値を求めよ．

(ⅳ)　点$\mathrm{R}$を$x$軸上を動く点，点$\mathrm{S}$を直線$l$上を動く点とする．このとき，折れ線$\mathrm{PRSQ}$の長さの最小値を求めよ．

【３】　座標平面上に与えられた$2$点$\mathrm{P}(0,1)\text{，}\mathrm{A}(a,0)\text{（}a\geqq 0\text{）}$に対し，点$\mathrm{Q}$を直線$\mathrm{AP}$上に$\mathrm{A}$から見て$\mathrm{P}$と同じ側に$\mathrm{AP}\cdot \mathrm{AQ}=a(a+1)$を満たすようにとる．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a>0$のとき$x$軸上に点$\mathrm{B}(b,0)\text{（}b\leqq 0\text{）}$を$\mathrm{AP}\cdot \mathrm{AQ}=\mathrm{AO}\cdot \mathrm{AB}$を満たすようにとる．ただし，点$\mathrm{O}$は原点を表す．このとき$b$の値を求めよ．

(ⅱ)　点$\mathrm{A}$が$a>0$を満たしながら$x$軸上を移動するとき，点$\mathrm{Q}$は同一の円$C$の周上にある．この円の中心の座標と半径を求めよ．

(ⅲ)　点$\mathrm{Q}$の$y$座標の値が最大となるときの点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．またそのときの$a$の値を求めよ．

【４】　箱の中に，数字の$1$を記入したカード，$2$を記入したカード，$3$を記入したカードがそれぞれ$n$枚，合計$3n$枚入っている．ただし，$n\geqq 4$であり，またカードの裏側には何も書かれていないものとする．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　箱の中からカードを$1$枚取り出し，数字を見ないでふせておく．次に箱の中から取り出したカードの数字が$1$である確率を求めよ．

(ⅱ)　箱の中から$2$枚のカードを同時に取り出したとき，カードの数字が異なる確率を$n$を用いて表せ．

(ⅲ)　箱の中から$3$枚のカードを同時に取り出したとき，カードの数字がちょうど$2$種類である確率を$n$を用いて表せ．

(ⅳ)　箱の中から$4$枚のカードを同時に取り出したとき，カ−ドの数字がちょうど$2$種類である確率を$n$を用いて表せ．