2009　佐賀大学　前期

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　次を満たす$2$数$x\text{，}$$y$を求めよ．

$x+y={\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}=2$

(2)　次を満たす$3$数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$を求めよ．

$x+y+z={\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}+{\displaystyle \frac{1}{z}}=3\text{，}$$xyz=1$

【２】　関数$f(\theta )=\sin \theta -\sqrt{3}\cos \theta$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$y=f(\theta )$のグラフをかけ．

(2)　$-\pi <\theta <\pi$のとき，方程式

$f(\theta )=1$

を解け．

(3)　$-\pi <\theta <\pi$のとき，不等式

$\sin \theta >\sqrt{3}\cos \theta +1$

を解け．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　初項$a\text{，}$公差$d$の等差数列$\{a_n\}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$において，

$a_1+a_2+\cdots +a_n={\displaystyle \frac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}}$

となることを証明せよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(2)(ⅰ)　$n$は自然数とする．このとき，

$1-x^n=(1-x)(1+x+\cdots +x^{n-1})$

が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ．

(ⅱ)　初項$a\text{，}$公比$r$の等比数列$\{a_n\}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$において，

$a_1+a_2+\cdots +a_n=\{\begin{array}{cc}na& \text{（}r=1\text{のとき）}\\ {\displaystyle \frac{a(1-r^n)}{1-r}}& \text{（}r\ne 1\text{のとき）}\end{array}$

となることを証明せよ．

【４】　放物線$y=x^2$のグラフ上に$2$点$\mathrm{A}$$(a,a^2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(b,b^2)$（ただし，$a<b$）がある．また，グラフ上の点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の間に点$\mathrm{P}$$(p,p^2)$をとり，点$\mathrm{P}$における放物線の接線，線分$\mathrm{AB}\text{，}$$2$直線$x=a\text{，}$$x=p$で囲まれた部分の面積を$S_1\text{，}$放物線，点$\mathrm{P}$における放物線の接線，直線$x=a$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．

　点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の間（両端は含まない）を放物線のグラフに沿って動くとき，${\displaystyle \frac{S_{\mathrm{２}}}{S_{\mathrm{１}}}}$のとる値の範囲を求めよ．

【１】　等差数列$\{a_n\}$は，$a_5=14\text{，}$$a_{10}=29$を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　一般項$a_n$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{2}^{-a_k}$を求めよ．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{a_k{a}_{k+1}}}$を求めよ．

(4)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{2}^{-a_k}$および${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{a_k{a}_{k+1}}}$を求めよ．

【２】　$x>1$において$f(x)=\sqrt{x}-\log x\text{，}$$g(x)={\displaystyle \frac{x}{\log x}}$とするとき，次の問いに答えよ．（ただし，対数は自然対数とする．）

(1)　$f(x)>0$を示せ．

(2)　$g(x)>\sqrt{x}$を示せ．これを用いて，$\underset{x\to \infty }{\lim }g(x)=\infty$を示せ．

(3)　$g^{\prime }(x)\text{，}$$g^{″}(x)$を計算し，$g(x)$の極値，変曲点の座標を求めよ．

(4)　関数$y=g(x)$のグラフをかけ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　$2$つの曲線$y=\sin x\text{，}$$y=\cos x$$({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{5\pi }{4}})$で囲まれた図形$D$の面積$S$を求めよ．

(2)　区間${\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{5\pi }{4}}$における，$|\sin x|$と$|\cos x|$の大小関係を述べよ．

(3)　(1)の図形$D$を$x$軸の回りに一回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

【４】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}\cos 72\mathrm{°}& -\sin 72\mathrm{°}\\ \sin 72\mathrm{°}& \cos 72\mathrm{°}\end{array}\right)$について，次の問いに答えよ．ただし，$E$は$2$次の単位行列とし，$O$は$2$次の零行列とする．

(1)　$(A-E)(A^4+A^3+A^2+A+E)=O$を示せ．

(2)　$A-E$が逆行列を持つことを示せ．これを用いて，

$A^4+A^3+A^2+A+E=O$

を示せ．

(3)　$B=A+A^{-1}$とおく．(2)を用いて，$B^2+B-E=O$を示せ．

(4)　(3)の行列$B$について，$B=\left(\begin{array}{cc}2\cos 72\mathrm{°}& 0\\ 0& 2\cos 72\mathrm{°}\end{array}\right)$を示せ．

(5)　$\alpha =\cos 72\mathrm{°}$とおくとき，(3)と(4)を用いて，$4{\alpha }^2+2\alpha -1=0$が成り立つことを示せ．さらに$\cos 72\mathrm{°}$の値を求めよ．

【１】　座標平面上の$3$点$\mathrm{P}$$(2,1)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(-{\displaystyle \frac{2}{5}},-{\displaystyle \frac{11}{5}})\text{，}$$\mathrm{O}$$(0,0)$を通る円を$C_1$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　円$C_1$の方程式を求めよ．

(2)　円$C_1$に内接する正三角形の面積を求めよ．

(3)　円$C_2\text{：}{x}^2+y^2=5$の円周上を動く点$\mathrm{M}$に対して，$3$点$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が三角形を作るとする．このとき，$\mathrm{▵MPQ}$の重心の軌跡を求めよ．

【２】　濃度$a\mathrm{\%}$$\text{（}a>0\text{）}$の均一な食塩水がある．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　食塩水から質量の$10$分の$1$を取り出し，代わりに同じ質量の真水を加えて濃度が均一になるようにした．このときの食塩水の濃度を求めよ．

(2)　(1)の操作を$n$回繰り返してできる食塩水の濃度を求めよ．

(3)　$0.4771<{\log }_{10}3<0.4772$を用いて，(2)において濃度が${\displaystyle \frac{a}{10}}\mathrm{\%}$以下になる$n$の最小値を求めよ．

【３】　${\mathrm{A}}_1$$(1,1,1)\text{，}$${\mathrm{A}}_2$$(2,3,1)\text{，}$${\mathrm{A}}_3$$(2,2,2)\text{，}$${\mathrm{A}}_4$$(4,2,0)$を空間内の$4$点とし，$\mathrm{O}$を原点とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　${\mathrm{A}}_3$と${\mathrm{A}}_4$の中点を$\mathrm{B}$とするとき，$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2\mathrm{B}$の面積を求めよ．

(2)　$2$つの四面体${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3\mathrm{B}\text{，}$および${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_4\mathrm{B}$の体積をそれぞれ求めよ．

(3)

${\displaystyle \frac{1}{4}}(\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1}+\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_2}+\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_3}+\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_4})$

を位置ベクトルに持つ点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{{\mathrm{A}}_1\mathrm{P}}$を$\overrightarrow{{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2}$と$\overrightarrow{{\mathrm{A}}_1\mathrm{B}}$を用いて表し，$4$点${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{P}$は同一平面上にあることを示せ．

(4)　${\mathrm{A}}_1$と${\mathrm{A}}_2$の中点を$\mathrm{C}$とするとき，$4$点${\mathrm{A}}_3\text{，}$${\mathrm{A}}_4\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{P}$は同一平面上にあることを示せ．

【４】　$k>1$とする．$2$直線$y=kx\text{，}$$y=(2k-1)x$と放物線$y=x^2$によって囲まれた図形の面積を$S$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$S$を$k$を用いて表せ．

(2)　$S$は$k$に関して単調に増加することを示せ．

(3)　$6S<6k^3-7k^2+1$が成り立つような$k$の値の範囲を求めよ．