2009　鹿児島大学　前期MathJax

【１】　次の各問いに答えよ．

(1)　実数$x\text{，}$$y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．

(a)　$x\geqq y$ならば$x^2\geqq y^2$である．

(b)　$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0\text{，}$$x^2\geqq y^2$ならば$x\geqq y$である．

【１】　次の各問いに答えよ．

(2)　$20!=2^{m}k$$\text{（}k$は奇数）が成り立つとき，整数$m$の値を求めよ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(3)　$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5$の$5$種類の数字を，同じ数字を繰り返し用いることを許して$3$桁の整数をつくるとき，各位の数字の和が$3$の倍数になる整数は何個あるか．

【１】　次の各問いに答えよ．

(4)　$\mathrm{AB}\ne \mathrm{AC}$である鋭角三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}\text{，}$重心を$\mathrm{G}$とする．直線$\mathrm{OG}$と$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$におろした垂線との交点を$\mathrm{H}\text{，}$$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，$\mathrm{AH}:\mathrm{OM}$を求めよ．

【２】　$n$を正の整数，$r$を$1$でない実数とし，

$S={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{r}^{k-1}\text{，}$$T={\displaystyle \sum _{k=1}^n}k{r}^{k-1}\text{，}$$U={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^2{r}^{k-1}$

とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$S$を${\displaystyle \sum }$を用いずに，$r\text{，}$$n$で表せ．

(2)　$T$を${\displaystyle \sum }$を用いずに，$S\text{，}$$r\text{，}$$n$で表せ．ただし，$S$を必ず用いること．

(3)　$U$を${\displaystyle \sum }$を用いずに，$S\text{，}$$T\text{，}$$r\text{，}$$n$で表せ．ただし，$S$と$T$を必ず用いること．

【３-１】　次の問いに答えよ．

(1)　直線$4x-3y=a$が放物線$y=-x^2+6x-5$と接するとき，$a$の値と接点の座標を求めよ．

(2)　点$(x,y)$が連立不等式$x^2+y^2\leqq 25\text{，}$$y\leqq -x^2+6x-5$の表す領域を動くとき，$4x-3y$の最小値と最大値を求めよ．

【３-２】　区間$[1,e]$において，関数$f(x)$を

$f(x)=x\log x-x$

とするとき，次の各問いに答えよ．$e$は自然対数の底である．

(1)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　関数$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_1^e}f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

【３】　関数$f(x)$を

$f(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^3\log \left|x\right|& \text{（}x\ne 0\text{）}\\ 0& \text{（}x=0\text{）}\end{array}$

とするとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$0<x<1$のとき，$0<-\log x<{\displaystyle \frac{1}{x}}$が成り立つことを示せ．

(2)　微分係数の定義を用いて$f^{\prime }(0)=0$であることを示せ．

(3)　$x\ne 0$のとき$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(4)　関数$f(x)$の極値を求めよ．

【４】　次の数列について，各問いに答えよ．

$\begin{array}{cccc}\text{第}1\text{群}& \text{第}2\text{群}& \text{第}3\text{群}& \\ \overbrace{{\displaystyle \frac{1}{1}},}& \overbrace{{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{2}{1}},}& \overbrace{{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{2}{2}},{\displaystyle \frac{3}{1}},}& \cdots ,\end{array}$$\begin{array}{cc}\text{第}k\text{群}& \\ \overbrace{{\displaystyle \frac{1}{k}},{\displaystyle \frac{2}{k-1}},{\displaystyle \frac{3}{k-2}},\cdots ,{\displaystyle \frac{k}{1}},}& \cdots \end{array}$

(1)　${\displaystyle \frac{n}{m}}$は第何群の第何項か．ただし，$m$と$n$は正の整数とする．

(2)　${\displaystyle \frac{n}{m}}$は数列の先頭から数えると何番目の項か．

(3)　数列の先頭から数えて$1000$番目の項$a$を求めよ．

(4)　$a$と値が等しい項のうちで最初に現れるのは，数列の先頭から数えて何番目か．

【５-１】　$M=\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ -2& -1\end{array}\right)$とする．正方行列$A\text{，}$$B$が

$\alpha A+\beta B=M\text{，}$$A+B=E\text{，}$$AB=O$

を満たしているとき，次の各問いに答えよ．ただし，$\alpha \text{，}$$\beta$は$\alpha >\beta$を満たす実数，$E$は単位行列，$O$は零行列である．

(1)　$A^2=A\text{，}$$B^2=B\text{，}$$BA=O$であることを示せ．

(2)　$A\text{，}$$B$を$\alpha \text{，}$$\beta$を用いて表せ．

(3)　$\alpha \text{，}$$\beta$および$A\text{，}$$B$を求めよ．

(4)　$n$を自然数とするとき，$M^n$を求めよ．

【５-２】　次の各問いに答えよ．

(1)　平面上の二点${\mathrm{F}}_1$$(-1,0)\text{，}$${\mathrm{F}}_2$$(1,0)$からの距離の和が$2a$$\text{（}a>1\text{）}$である楕円$C$の方程式を求めよ．

(2)　楕円$C$が直線$x+y=2$と接するとき，$a$の値と接点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$における楕円$C$の法線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とするとき

${\displaystyle \frac{\mathrm{P}{\mathrm{F}}_1}{\mathrm{P}{\mathrm{F}}_2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{Q}{\mathrm{F}}_1}{\mathrm{Q}{\mathrm{F}}_2}}$

であることを示せ．

【５-３】　容器の中にある種類の生物がいて，この実器の中では増殖しない．この生物に関して，次の性質を満たす定数$p$があることが知られている．

［性質］この生物の個体は$k$日目に生存していれば，他の個体が何匹いるかにかかわりなく，$k+1$日目には確率$p$で生存している$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）．}$

$k$日目に生存している個体数を$X_k$で表す．$X_1=n$とするとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$X_2=0$となる確率を求めよ．

(2)　$X_3=0$となる確率を求めよ．

(3)　$X_k>0$であるが$X_{k+1}=0$となる確率を求めよ．

【５-４】　次の各問いに答えよ．

(1)　確率変数$X$のとる値$x$の範囲が$-1\leqq x\leqq 1$で，その確率密度関数$f(x)$が，次の式で与えられている．

$f(x)=\{\begin{array}{ll}x+k& \text{（}-1\leqq x<0\text{）}\\ -x+k& \text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}\end{array}$

(a)　$k$の値と$X$の平均を求めよ．

(b)　確率$P(-0.5\leqq X\leqq 0.5)$を求めよ．

【５-４】　次の各問いに答えよ．

(2)　母平均$m\text{，}$母標準偏差$\sigma$の母集団から大きさ$n$の無作為標本を抽出するとき，その標本平均を$\bar{X}$とする．標本平均$\bar{X}$は，$n$の値が大きいとき，近似的に正規分布$N(x,y)$に従う．ただし，確率変数$Z$が標準正規分布$N(0,1)$に従うならば，$P(Z\geqq 1.00)=0.1587\text{，}$$P(Z\geqq 2.00)=0.0228$である．

(a)　$x$と$y$を$m\text{，}$$\sigma \text{，}$$n$を用いて表せ．

(b)　母平均$50\text{，}$母標準偏差$20$の母集団から，大きさ$100$の無作為標本を抽出するとき，確率$P(46\leqq X\leqq 52)$を求めよ．ただし，標本の大きさ$100$は十分大きい数であるとみなせるとする．