2009　札幌医科大学　前期MathJax

【１】　$1$辺の長さが$a$の正四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．$0<t<1$に対し，辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{CD}\text{，}\mathrm{BD}$を$t:(1-t)$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$とする．

(1)　正四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を$a$を用いて表せ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$t$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{SR}}$を用いて表せ．

(3)　四角形$\mathrm{PQRS}$の面積を$a$と$t$を用いて表せ．

(4)　四角形$\mathrm{PQRS}$の面積が最小となるときの$t$の値を求めよ．また，そのときの立体$\mathrm{AD}-\mathrm{PQRS}$の体積を$a$を用いて表せ．

【２】　$1$から$5$までの自然数が書かれたカードを$1$枚ずつ合計$5$枚用意する．ここから$1$枚のカードを引き，番号を記録した後に元に戻す．この試行を以下のルールで繰り返すゲームを行う：過去に出た数以下の数が書かれたカードを引いた時点で試行を打ち切り，試行の総数を得点とする．ただし得点の上限は$4$点とする．つまり，得点が$4$点になった時点でゲームは終了し，そのときの得点は$4$点とする．

• 例１：最初に$3$を引き，$2$回目にも$3$を引けば，ここでゲームは終了し，得点は$2$点となる．
• 例２：最初に$3$を引き，$2$回目に$5$を引いた場合は，次に何を引いてもゲームが終了するので得点は$3$点となる．
• 例３：最初に$1$を引き，$2$回目に$2$を引き，$3$回目に$3$を引いた場合は，$4$回目の試行が行え，$4$回目の結果によらず得点は上限の$4$点となる．

(1)　得点が$3$点である確率を求めよ．

(2)　得点の期待値を求めよ．

　今後，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人それぞれがこのゲームを行い，得点の高い方を「勝ち」，低い方を「負け」，同点の場合を「引き分け」とする．

(3)　引き分ける確率を求めよ．

(4)　引き分ける確率は，$\mathrm{A}$が勝つ確率の何倍か．

【３】　平面上に$2$点$\mathrm{P}(a,b)\text{，}\mathrm{Q}(a,-b)$がある．ただし$a\text{，}b$は正の数とする．線分$\mathrm{OP}$と線分$\mathrm{OQ}$上に，それぞれ動点$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$があり，$\mathrm{PM}=\mathrm{ON}$を満たすように動くとき，線分$\mathrm{MN}$が通過する領域を$T$とする．ここで$\mathrm{O}$は原点を表す．

(1)　領域$T$は線分$\mathrm{OP}\text{，}\mathrm{OQ}$と，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$を結ぶ曲線で囲まれる．この曲線の方程式を求めよ．

(2)　領域$T$を図示せよ．

(3)　領域$T$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体を$U$とする．$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が単位円周上にあるとき，立体$U$の体積を最大にするような$a$の値と，そのときの立体$U$の体積を求めよ．

【４】　定数$a>0\text{，}0<b<{\displaystyle \frac{1}{2}}$に対し，$0\leqq x\leqq \pi$で定義された関数

$f(x)=a+\tan bx$

は，条件$f(x)f(\pi -x)=c$を満たす．ただし$c$は定数とする．

(1)　$a$と$b$の関係式，および$a$と$c$の関係式を求めよ．

　以下$a=2+\sqrt{3}$とする．

(2)　$b$と$c$の値を求めよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}\log f(x)dx$の値を求めよ．