2009　青森公立大学　前期MathJax

【１】　関数$f(x)=|x^2-2x-3|-2x+2$について，以下の問題に答えなさい．

問題１　$2\leqq x\leqq 5$のとき，$f(x)$の最大値と最小値を求めなさい．

問題２　$f(x)$の最大値が$5$となるような$x$の最大の範囲を求めなさい．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}=10\text{，}$$\mathrm{\angle C}=90\mathrm{°}$とする．$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{P}$を通り$\mathrm{BC}$に平行な直線と$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．さらに，線分$\mathrm{PQ}$を折り目として三角形$\mathrm{APQ}$を折り返してできる三角形の$\mathrm{A}$に対応する頂点を${\mathrm{A}}^{\prime }$とする．点$\mathrm{P}$が$\mathrm{AC}$上を動くとき，三角形$\mathrm{ABC}$と三角形${\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{PQ}$の共通部分の面積$S$の最大値を求めなさい．

【３】　半径が$2$および$3$の$2$つの円$C_1\text{，}$$C_2$が外接し，さらにこれら$2$つの円は異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$で同一の直線$l$に接している．以下の問題に答えなさい．

問題１　線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めなさい．

問題２　$C_1\text{，}$$C_2$とは異なる円$C_3$が$l\text{，}$$C_1\text{，}$$C_2$すべてに外接するとき，$C_3$の半径を求めなさい．

【４】　$1000$以下の自然数について以下の問いに答えなさい．

問題１　$7$で割り切れる数の個数を求めなさい．また，$3$でも$7$でも割り切れる数の個数を求めなさい．

問題２　$3$か$7$のいずれかで割り切れる数の個数を求めなさい．

問題３　$3$でも$5$でも$7$でも割り切れない数の個数を求めなさい．