2009　福島県立医科大学　前期

【１】　以下の各問いに答えよ．

(1)　$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$を満たすすべての$\theta$について，不等式$\sin 3\theta +a\sin 2\theta +3\sin \theta \geqq 0$が成り立つような実数$a$の値の範囲を求めよ．

【１】　次の問いに対して，答えだけを書け．

(2)　$1$辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{CA}$を$p:1-p$$\text{（}0<p<1\text{）}$の比に内分する点を$\mathrm{P}$とする．また，正三角形$\mathrm{ABC}$の外接円と線分$\mathrm{BP}$の延長線との交点を$\mathrm{D}$とする．四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を$p$を用いて表せ．

【２】　$4$つの整数$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$と自然数$n$について，$A_n=3{(a+b)}^n+2{(a+c)}^n+4{(a+d)}^n-a^n$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$A_1$が$8$で割り切れるとき，ある整数$k\text{，}$$l\text{，}$$m$について，$b=2k\text{，}$$c=2l-3k\text{，}$ $d=2m-l$と表せることを示せ．

(2)　$A_1$と$A_2$が$8$で割り切れるとき，(1)の$k$と$l$が偶数であることを示せ．

(3)　$A_1$と$A_2$が$8$で割り切れるとき，すべての自然数$n$について，$A_n$が$8$で割り切れることを示せ．

【３】　三角形$\mathrm{DEF}$の内接円$C_0$と辺$\mathrm{DE}\text{，}$$\mathrm{EF}\text{，}$$\mathrm{FD}$との接点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$とする．また，$C_0$の中心を$\mathrm{O}\text{，}$半径は$1$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$として，以下の問いに答えよ．ただし，$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y}$はベクトル$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{y}$の内積である．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$および内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を用いて表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$を用いて，また，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$を用いて表せ．

(2)　$2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}+4\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$が成立するものとして，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．

(ⅱ)　線分$\mathrm{AF}$と$\mathrm{CE}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(ⅲ)　$3$つの線分$\mathrm{AF}\text{，}$$\mathrm{CE}\text{，}$$\mathrm{BD}$が$1$点で交わることを示せ．

【４】　$n$を$2$以上の自然数とし，$k$を$n$以下の自然数とする．座標平面上の原点$\mathrm{O}$のまわりに$x$軸を${\displaystyle \frac{k}{4n}}\pi$回転した直線を$l_k$とし，$l_k$と放物線$y=x^2$との$2$つの交点のうち原点以外の点を${\mathrm{P}}_k$とする．また，$n-1$以下の自然数$k$について，三角形$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_k{\mathrm{P}}_{k+1}$の面積を$S_k$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{{\tan }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　すべての$k=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n-1$について，次の不等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle \frac{1}{2}}\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4n}}({\tan }^2{\displaystyle \frac{k}{4n}}\pi +{\tan }^4{\displaystyle \frac{k}{4n}}\pi )$$\leqq S_k$$\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4n}}({\tan }^2{\displaystyle \frac{k+1}{4n}}\pi +{\tan }^4{\displaystyle \frac{k+1}{4n}}\pi )$

(3)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}{S}_k$を求めよ．

【５】　公正なコインを繰り返し投げて，数列$\{a_k\}\text{，}$$\{A_m\}\text{，}$$\{B_m\}$を

$a_k=\{\begin{array}{ll}1& \text{（}k\text{回目に表が出たとき）}\\ 0& \text{（}k\text{回目に裏が出たとき）}\end{array}\text{，}$$A_m={\displaystyle \sum _{k=1}^m}{a}_k{2}^{k-1}\text{，}$$B_m={\displaystyle \sum _{k=1}^a}{a}_{m+1-k}{2}^{k-1}$

により定義する．また，$A_m=B_m$となる確率を$q(m)\text{，}$$A_m\leqq B_{m+n}$となる確率を$p(m,n)$とおく．ただし，$m$は自然数，$n$は$0\leqq n\leqq m-1$を満たす整数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$q(5)$と$q(6)$を求めよ．また，$q(m)$を$m$を用いて表せ．

(2)　$p(m,0)$を$q(m)$を用いて表せ．

(3)　$p(m,n)$を$m\text{，}$$n$を用いて表せ．