2009　首都大学東京　前期MathJax

【１】　半径$R$の円周上に点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$がこの順で反時計回りに並んでいる．線分$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CD}$の長さはそれぞれ$1\text{，}\sqrt{5}\text{，}\sqrt{2}\text{，}2$である．以下の問いに答えなさい．

(1)　$\cos B$を求めなさい．ここで，$B$は$\angle \mathrm{ABC}$を表す．

(2)　円の半径$R$を求めなさい．

(3)　$\cos D$を求めなさい．ここで，$D$は$\angle \mathrm{ADC}$を表す．

(4)　線分$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．

【２】　表面に「$1$点」と書かれたカードが$5$枚，「$5$点」と書かれたカードが$3$枚，「$10$点」と書かれたカードが$2$枚，合わせて$10$枚のカードがある．この$10$枚のカードを裏返してよくまぜてから$3$枚を取り出す．$3$枚のカードの点数の合計を$N$点とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　$N<10$となる確率$p_1$を求めなさい．

(2)　$N\geqq 20$となる確率$p_2$を求めなさい．

(3)　$10\leqq N<20$となる確率$p_3$を求めなさい．

(4)　$3$枚とも同じ点数となる確率 $p_4$を求めなさい．

【３】　空間内の$3$点$\mathrm{A}(1,2,3)\text{，}\mathrm{B}(0,1,1)\text{，}\mathrm{C}(1,1,0)$を与えたとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　点$\mathrm{H}$は$2$点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る直線上にあり，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$は垂直であるとする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を求めなさい．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めなさい．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$に垂直で，大きさが$S$のベクトルをすべて求めなさい．

【４】　以下の問いに答えなさい．

(1)　$|x^2-3|=x^2-3x-2$を満たす実数$x$をすべて求めなさい．

【４】　以下の問いに答えなさい．

(2)　実数を係数とする$4$次方程式$x^4+a{x}^2+b=0$が$\sqrt{2}-i$を解にもつとき，実数$a\text{，}b$を求めなさい．ただし，$i$は虚数単位とする．

【１】　$3$点$\mathrm{A}(2,1,5)\text{，}\mathrm{B}(1,-1,3)\text{，}\mathrm{C}(1,1,7)$を通る平面を$\alpha$とする．$2$点$\mathrm{D}(0,1,2)\text{，}\mathrm{E}(2,-5,0)$を通る直線と平面$\alpha$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{CB}}$の両方に垂直な単位ベクトルのうち，$x$成分が正であるものを成分で表しなさい．

(2)　点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．

(3)　点$\mathrm{P}$を通り，平面$\alpha$に垂直な直線を$h$とする．直線$h$と$xy$平面の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{PQ}$の長さを求めなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(1)　$3^x=a\text{，}{12}^y=a\text{，}{\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}}=2$を満たす実数$x\text{，}y$が存在するような$a$の値を求めなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(2)　正の実数$b\text{，}c\text{，}z$が

$({\log }_2{\displaystyle \frac{z}{b}})({\log }_2{\displaystyle \frac{z}{c}})+1=0$

を満たすとき，${\displaystyle \frac{c}{b}}$の取りうる値の範囲を求めなさい．

【３】　実数$a$に対して定積分

$f(a)={\displaystyle {\int }_0^1}{e}^x|x-a|dx$

を考えるとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}{e}^x(x-a)dx$を求めなさい．

(2)　$f(x)$を求めなさい．

(3)　$f(a)$を最小にする$a$の値を求めなさい．

【１】　自然数$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対し，$n$を$3$で割った余りを$a_n$で表す．数列$\left\{b_n\right\}$を漸化式

$b_1=1\text{，}{b}_{n+1}=b_n+(n+1){(a_{n+1})}^2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．以下の問いに答えなさい．

(1)　$b_2$および$b_3$の値を求めなさい．

(2)　すべての自然数$n$に対し，$b_{3(n+1)}-b_{3n}=15n+9$が成り立つことを示しなさい．

(3)　すべての自然数$k$に対し，

$b_{3k}={\displaystyle \frac{15(k-1)k}{2}}+9k$

が成り立つことを示しなさい．

(4)　自然数$n$に対して「$b_n$が$3$で割り切れない」ための必要十分条件は「$n$を$3$で割った余りが$1$」であることを示しなさい．

【２】　$10$個の球の入った袋がある．おのおのの球には$1$から$10$までのどれかの数が書いてあり，どの$2$つの球にも異なる数が書いてある．このような袋が$3$袋あるとして，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とする．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$から球を$1$個ずつ取り出し，取り出した球に書かれた数をそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$がすべて異なる確率を求めなさい．

(2)　$a\text{，}b\text{，}c$の最大値が$7$以下である確率を求めなさい．

(3)　$a\text{，}b\text{，}c$の最大値が$7$である確率を求めなさい．

(4)　$a+b+c=10$である確率を求めなさい．

【３】　$\mathrm{0>}<a<2$に対して，三角形$\mathrm{ABC}$は$3$辺が$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=2\text{，}\mathrm{BC}=2a$を満たすとする．三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺に接する円$C_1$の半径を$R_1$とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$R_1$を$a$についての式で表しなさい．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$内にある円$C_2$は，円$C_1$に外接し，$2$辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}$に接するとする．円$C_2$の半径を$R_2$とするとき，${\displaystyle \frac{R_2}{R_1}}$を$a$についての式で表しなさい．