2009　岐阜薬科大学　中期

【１】　頂点が$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(6,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,6)$である三角形$\mathrm{OAB}$と，頂点が$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{P}$$(x,0)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(x,2x)\text{，}$$\mathrm{R}$$(0,2x)$である長方形$\mathrm{OPQR}$がある．これらの図形の共通部分の面積を$y$とし，$y$を$x$の式で表し，そのグラフをかけ．ただし，$0<x\leqq 6$とする．（解答はこのページ内におさめること）

【２】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$がある．

$a_1=1\text{，}$$a_2=3\text{，}$$a_{n+1}=2a_n-a_{n-1}$$\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

$b_1=1\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{b_{n+1}}}-{\displaystyle \frac{1}{b_n}}=2n+3$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　$\overrightarrow{a}=(a_n,-1)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(\beta b_n,1)$（$\beta$は正の実数）とする．$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$は直交し，かつ$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$の大きさが$14$であるとき，$\beta$と$n$の値を求めよ．

（解答はこのページ内におさめること）

【３】　ある生物系の生物量$y$$\text{（}1\leqq y<5\text{）}$と経過時間$x$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$は，関係式$x=\log (4y)-\log (5-y)$を満たす．

(1)　関係式の両辺を$x$で微分して，生物量$y$の増加速度${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}}$を$y$の関数として求めよ．

(2)　增加速度${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}}$が最大となる経過時間$x$を求めよ．

(3)　生物量$y$が$1$から$a$$\text{（}1<a<5\text{）}$まで変化する間の経過時間$x$の平均値は，${\displaystyle \frac{1}{a-1}}{\displaystyle {\int }_1^a}x\mathit{dy}$で与えられる．この式の$a=3$のときの値を求めよ．

(解答はこのページ内におさめること）

【４】　$A^3=A$を満たす行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$について，次の問いに答えよ．ただし，$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$は実数とする．

(1)　$a+d\text{，}$$ad-bc$の値をすべて求めよ．

(2)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$は整数とする．$a^2=b+c$を満たし，逆行列をもつ行列$A$をすべて求めよ．

(解答はこのページ内におさめること）

【５】　鎖状高分子は，単量体と呼ばれる単位の繰り返しから成っていて，つながった単量体が位置を変えることにより，種々の形を取る．$N$個の単量体からなる鎖状高分子の形を，次の数学モデルで考察した．

$\text{①}$　鎖状高分子の$N$個の単量体は平面上の位置$(x,y)$（$x\text{，}$$y$は整数）を取り，結合している単量体間の距離が$1$である．

$\text{②}$　$1$番目の単量体は，位置$(0,0)$にある．

$\text{③}$　連続してつながる$3$個の単量体は，直線，右回り$90\mathrm{°}\text{，}$左回り$90\mathrm{°}$のいずれかの位置にある．例えば，$2$番目の単量体が位置$(1,0)$にあるとき，$3$番目の単量体は，$(2,0)\text{，}$$(1,-1)\text{，}$$(1,1)$のいずれかの位置にある．

$\text{④}$　いずれの単量体も他の単量体と同じ位置にあることはない．なお，$N$個の単量体を持つ$2$つの鎖状高分子において，各単量体が同じ位置と順序で重なる場合に同じ形とみなす．

次の問いに答えよ．（解答はこのページ内におさめること）

(1)　$10$個の単量体からなる鎖状高分子で，$10$番目の単量体が位置$(5,4)$にあるとき，この鎖状高分子は，何通りの形を取りえるか．$10$番目の単量体が位置$(7,0)$にあるとき，何通りの形を取りえるか．$10$番目の単量体が位置$(5,0)$にあるとき，何通りの形を取りえるか．

(2)　$2$番目の単量体が位置$(1,0)$にある$5$個の単量体からなる鎖状高分子を考える．鎖状高分子の可能な形は，すべて等しい頻度で現れるものとする．$1$番目の単量体と$5$番目の単量体の距離を$d$とするとき，$d^2$が$2$となる確率を求めよ．また，$d^2$の平均値(期待値)を求めよ．

【６】　媒介変数$t$$\text{（}t\geqq 1\text{）}$を用いて，$x=t+{\displaystyle \frac{1}{t}}\text{，}$$y=t-{\displaystyle \frac{1}{t}}$で表される曲線$C$がある．曲線$C$に関する次の問いに答えよ．（解答はこのページ内におさめること）

(1)　曲線$C$を，$x\text{，}$$y$についての方程式で表し，そのグラフをかけ．曲線$C$を$y$軸のまわりに回転させてできる曲面を側面，$y=0$の平面を底面とする容器を考える．この容器に，高さ$h$まで水を入れたときの水の体積を求めよ．

(2)　(1)の空の容器に，$1$秒間に体積$v$（$v$は正の定数）の割合で，水を注いだ．水の深さが$h$のときの水面の上昇速度を求めよ．また，水の深さが$h$のときの水面の面積の増加速度を求めよ．