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2009-11491-0201
2009 名古屋市立大 後期
経済学部
易□ 並□ 難□
【1】 関数 y= f⁡(x )= x33 -4 ⁢x のグラフについて,次の問いに答えよ.
(1) このグラフ上の点 (p, f⁡(p )) における接線の方程式を求めよ.
(2) a を実数とする.点 (2, a) からこのグラフに引くことのできる接線の本数を求めよ.
(3) このグラフに 3 本の接線を引くことができる点全体からなる領域を求め,図示せよ.
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【2】 辺の長さが OA= 4, OB=10 , AB=3⁢ 2 である三角形 OAB について,次の問いに答えよ.
(1) 点 X が 3 頂点 O ,A ,B から等距離にあるとき,線分 AX の長さを求めよ.
(2) 点 Y が d= OY2+ AY2+ BY2 を最小とするときの線分 OY ,AY ,BY の長さを求めよ.
(3) 点 Z が h= max⁡(OZ ,AZ,BZ ) を最小とするとき,線分 OZ ,AZ , BZ の長さを求めよ.ただし, max⁡( a,b, c) は a ,b , c の最大値を表す.
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【3】 表の出る確率が p (0 <p<1 ) のコインがある.点 M は初め数直線上の原点にある.このコインを投げるたびに点 M を次のように動かす.
表が出たら +1 進め,裏が出たら原点にもどす.
n 回コインを投げた後に,点 M の座標が k である確率を Pn ⁡(k ) として,次の問いに答えよ.
(1) Pn⁡ (k) ( k は 0 以上の整数)の値を k> n, k=n ,k<n の場合に分けて答えよ.
(2) Sn= ∑k= 1n ⁡k⁢ pk を求めよ.
(3) p= 12 のとき,点 M の原点からの距離の期待値 En = ∑k =1n ⁡k⁢ Pn⁡ (k) を求めよ.
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【4】 k ,m は 0< k-m⁢ 2<1 を満たす自然数とする.実数 ( k+m⁢ 2) 3 の整数部分を α , 小数部分を β とするとき,次の問いに答えよ.
(1) (k+ m⁢2 )3 +( k-m⁢ 2) 3 が偶数となることを示せ.
(2) α は奇数であること,および ( k-m⁢ 2) 3= 1-β であることを示せ.
(3) α=197 のとき, k ,m を求めよ.