2009　大阪府立大学　前期MathJax

【１】　数字$1$が書かれたカードが$2$枚，数字$2$が書かれたカードが$3$枚，数字$3$が書かれたカードが$4$枚ある．これらのカードをよくかきまぜて$1$枚ずつ順に取りだし，左から順に並べてできる$9$桁の自然数を$N$とする．また$N$の数字の並びを逆にした自然数を$N^{\prime }$とする．たとえば$N=112223333$の場合$N^{\prime }=333322211$となる．以下の問いに答えよ．

(1)　$N$の値は何通りあるか．

(2)　$N$が偶数となる確率を求めよ．

(3)　$N$が$4$の倍数となる確率を求めよ．

(4)　$N=N^{\prime }$となる確率を求めよ．

【２】　五角形$\mathrm{ABCDE}$において$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{DE}=\mathrm{EA}=1\text{，}\angle \mathrm{A}=135°\text{，}\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{E}=90°$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AE}}$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{AE}}$となる実数$\alpha \text{，}\beta$を求めよ．

(3)　実数$s\text{，}t$に対して，点$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AE}}$により定める．点$\mathrm{P}$が$2$点$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$を通る直線上にあるための$s\text{，}t$の条件を求めよ．

【３】　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して，座標平面上の点${\mathrm{P}}_n(x_n,y_n)$を以下のように定める．

$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{c}{x}_{n+1}\\ y_{n+1}\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)$

また，$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して，座標平面上の点${\mathrm{Q}}_n({\alpha }_n,{\beta }_n)$を

• $\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{Q}}_1}=\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1}$
• $\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{Q}}_n}=\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1}+\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_3}+\cdots +\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_{2n-1}}\text{（}n\geqq 2\text{）}$

により定める．以下の問いに答えよ．

(1)　点${\mathrm{Q}}_2\text{，}{\mathrm{Q}}_3$の座標を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n}$と$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_{n+2}}$は直交することを示せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\alpha }_n$と$\underset{n\to \infty }{\lim }{\beta }_n$を求めよ．

【３】　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して，座標平面上の点${\mathrm{P}}_n(x_n,y_n)$を以下のように定める．

$\{\begin{array}{l}{x}_1=1\\ y_1=1\end{array}\text{，}\{\begin{array}{l}{x}_{n+1}=x_n+y_n\\ y_{n+1}=-x_n+y_n\end{array}$

　以下の問いに答えよ．

(1)　点${\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}{\mathrm{P}}_4$の座標を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n$の長さを求めよ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n}$と$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_{n+2}}$は直交することを示せ．

(4)　線分${\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+2}$の長さを$a_n$とおく．${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$を求めよ．

【４】　$\theta$を定数とし，$f(x)=\sin (x+\theta )$と定める．関数$g(x)$が

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{g(x)}^{2}dx=1\text{，}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}g(x)\cos xdx={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}g(x)\sin xdx=0$

を満たすとき，以下の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{f(x)}^{2}dx$を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)-g(x)\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$と$x$軸および$2$直線$x=0\text{，}x=\pi$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

【４】　$k$を定数とし，

• $f(x)=x^3+x^2-4kx+6k^2$
• $g(x)=x^3+2x-3k$

とおく．$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$が相異なる$2$点で交わっているとき，これらの曲線で囲まれた部分の面積を$S(k)$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$が相異なる$2$点で交わるための$k$の条件を求めよ．

(2)　$S(k)$を求めよ．

(3)　$S(k)$が最大となる$k$の値を求めよ．

【１】　関数$f(x)=(x+1)e^{2x-1}$について，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)　$x>1$のとき，$f(x)>2e^x$が成り立つことを示せ．

(2)　$x<1$のとき，$f(x)<2e^x$が成り立つことを示せ．

(3)　$2$つの曲線$y=2e^x\text{，}y=f(x)$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

【２】　$z_1=2\text{，}{z}_2={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}$とし，複素数$z_1\text{，}{z}_2\text{，}{z}_3\text{，}{z}_4\text{，}\cdots$は

${z_n}^2=z_{n+1}{z}_{n-1}\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

(1)　${z_2}^2\text{，}{z_2}^3$を求めよ．

(2)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$について，$z_n$の実部を$a_n$とし，虚部を$b_n$とする．このとき，$a_n$と$b_n$を$n$を用いて表せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$および$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$を求めよ．

【３】　四角形$\mathrm{ABCD}$の頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の位置ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{d}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{GD}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{d}$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{GD}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．線分$\mathrm{MD}$の中点を$\mathrm{Q}$とするとき，$3$点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$は一直線上にあることを示せ．

(3)　点$\mathrm{M}$と点$\mathrm{P}$が一致するとき，$▵\mathrm{ABC}$と$▵\mathrm{ACD}$の面積比を求めよ．

【４】　$m\text{，}{m}^{\prime }$を$0$でない実数とする．$\mathrm{P}$を平面上の点とし，原点を通る直線$y=mx$と$y=m^{\prime }x$を，それぞれ$l\text{，}{l}^{\prime }$とする．点$\mathrm{P}$を通り$l$と垂直な直線を引き，その直線と$l$との交点を$\mathrm{Q}$とする．また，点$\mathrm{P}$を通り$l^{\prime }$と垂直な直線を引き，その直線と$l^{\prime }$との交点を${\mathrm{Q}}^{\prime }$とする．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標を$(x_1,y_1)$とし，点$\mathrm{Q}$の座標を$(x_2,y_2)$とする．このとき，$x_2$と$y_2$を$x_1\text{，}{y}_1\text{，}m$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$を点$\mathrm{Q}$に移す移動を表す行列$A$を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$を点${\mathrm{Q}}^{\prime }$に移す移動を表す行列を$A^{\prime }$とする．$A+A^{\prime }=E$となるとき，$m^{\prime }$を$m$を用いて表せ．ただし，$E$は単位行列とする．