2009　奈良県立医科大学　前期医学科

【１】　$xyz$空間において原点$\mathrm{O}$$(0,0,0)$を中心とする半径$1$の球面を$S$とし，球面$S$から点$\mathrm{N}$$(0,0,1)$を除いた部分に属する点$\mathrm{P}$$(x,y,z)$に対して，$2$点$\mathrm{N}\text{，}$$\mathrm{P}$を通る直線と$xy$平面$z=0$との交点を$\mathrm{Q}$とおく．

(1)　点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(2)　球面$S$上の任意の点$\mathrm{R}$に対して$\mathrm{R}$のどんなに近くにも，$S$上の点$(a,b,c)$で各座標$a\text{，}$$b\text{，}$$c$が全て有理数からなるものが存在することを証明せよ．

【２】　$n$を$2$以上の整数とし，$1$から$n$までの相異なる$n$個の整数を横一列に並べて得られる各順列$\sigma$に対して，左から$i$番目の数字を$\sigma (i)$と記す．このとき，条件$1\leqq i<j\leqq n\text{，}$かつ$\sigma (i)>\sigma (j)$を満たす整数の対$(i,j)$の個数を$l(\sigma )$とおく．更に$1$から$n$までの順列$\sigma$全体のなす集合を$S$とする．順列$\sigma$が$S$全体を動くとき，$l(\sigma )$の総和を求めよ．

【３】　$k$は正の定数で，実数$a\text{，}$$b$は条件

$a>0\text{，}$$b>0\text{，}$$a+b=k$

を満たしながら動くものとする．このとき$xy$平面の$2$点$\mathrm{A}$$(a,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,b)$を通る直線と点$\mathrm{P}$$(a,b)$との距離の最大値を求めよ．

【４】(1)　任意の正整数$n$に対して関数$f_n(\theta )$は$f_n(\theta )=n^2\sin \theta {\cos }^{2n}\theta$で定義されているものとする．このとき

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{f}_n(\theta )\mathit{d\theta }={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}(\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(\theta ))\mathit{d\theta }$

が成り立つかどうか調べよ．

(2)　各正整数$n$に対して，$\theta$が$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くときの関数$f_n(\theta )=n^2\sin \theta {\cos }^{2n}\theta$の最大値を$M(n)$とおくこのとき，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{M(n)}{\sqrt{n^3}}}$を求めよ．

　ただし，$a$を$0<a<1$の範囲にある定数とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }n{a}^n=0$であることは証明なしに用いてよい．