2009　岡山県立大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$a\geqq b\text{，}$$x\geqq y$のとき，$(a+2b)(x+2y)\leqq 3(ax+2by)$を示せ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$\tan 2\theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$のとき，$\tan \theta$の値を求めよ．ただし，$0\mathrm{°}<\theta <90\mathrm{°}$である．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$x$についての整式$f(x)$は，$x-1$で割ると余りが$-3\text{，}$$x^3-1$で割ると余りが$x^2-2ax+a^3$である．このとき，実数$a$の値を求めよ．

【２】　座標空間に$4$点$\mathrm{A}$$(-1,0,3)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,5,6)\text{，}$$\mathrm{C}$$(3,6,1)\text{，}$$\mathrm{D}$$(2,a,b)$がある．ただし，$a\text{，}$$b$は実数である．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BD}}$が垂直であるとき，$b$を$a$で表せ．

(2)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る平面上に点$\mathrm{D}$があるとき，$b$を$a$で表せ．

(3)　直線$\mathrm{AC}$と直線$\mathrm{BD}$が垂直に交わるとき，$a$と$b$の値および四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{x+1}{x^2+x-2}}\mathit{dx}$を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}\mathit{dx}$を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_1^e}{\displaystyle \frac{\log x}{\sqrt{x}}}\mathit{dx}$を求めよ．

【４】　$0\leqq x<2\pi$に対し，$f(x)=\cos 4x-2\sin 2x+4(\sin x+\cos x)$とする．$t=\sin x+\cos x$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$t$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　$\sin 2x\text{，}$$\cos 4x$を$t$で表せ．

(3)　$f(x)$の最大値および最小値を求めよ．