2009　高知工科大学　A1日程1日目1月31日実施MathJax

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　$(a-b-c+d)(a-b+c-d)$を展開せよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(2)　方程式${({\log }_{2}x)}^2-{\log }_{2}x-6=0$を解け．

【１】　次の各問に答えよ．

(3)　方程式$4^x-9\cdot 2^{x-1}+2=0$を解け．

【１】　次の各問に答えよ．

(4)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,1)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(2\sqrt{3}-1,2+\sqrt{3})$のなす角を求めよ．

【２】　座標平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C_1\text{，}$点$\mathrm{A}$$(3,0)$を中心とする半径$3$の円を$C_2$とする．これらの円の両方に接し，傾きが正である直線を$l_1$とする．直線$l_1$と円$C_1$との接点を$\mathrm{P}\text{，}$直線$l_1$と円$C_2$との接点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{O}$を通り直線$l_1$と平行な直線を$l_2$とし，直線$l_2$と線分$\mathrm{AQ}$との交点を$\mathrm{R}$とする．次の各問に答えよ．

(1)　線分$\mathrm{AR}$と$\mathrm{OR}$の長さを求めよ．

(2)　$\mathrm{\angle AOR}=\theta$とおく．$\cos \theta$と$\sin \theta$の値を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(4)　直線$l_1$の方程式を求めよ．

【３】　$a$を定数とする．$2$つの関数$f(x)=x^3-6x^2+a\text{．}$$g(x)=-9x+14$について，次の各問に答えよ．

(1)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)$の極大値，極小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

(3)　直線$y=g(x)$は曲線$y=f(x)$に第$1$象限で接している．接点の座標を求めよ．

(4)　(3)のとき，$a$の値および直線$y=g(x)$と曲線$y=f(x)$の接点以外の共有点の$x$座標を求めよ．

【４】　座標平面上の放物線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$を$C_1$とする．傾きが$1$である$C_1$の接線を$l$とし，その接点を$\mathrm{P}$とする．また，中心が$y$軸上にあり，点$\mathrm{P}$で直線$l$と接する円を$C_2$とする．次の各問に答えよ．

(1)　直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　円$C_2$の方程式を求めよ．

(3)　円$C_2$と$y$軸の$2$つの共有点のうち原点に近い点を$\mathrm{Q}\text{，}$円$C_2$と放物線$C_1$の$2$つの共有点のうち$\mathrm{P}$と異なる点を$\mathrm{R}$とする．円$C_2$の弧$\mathrm{PQR}$と放物線$C_1$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(4)　$m$を定数とする．$2$次関数$y=x^2+2mx+m+2$のグラフの頂点が直線$y=x-1$上にあるとき，$m$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(5)　同じノート$5$冊を$3$人の生徒に配る．全員が$1$冊以上もらえるような配り方は何通りあるか．