2009　高知工科大学　A1日程2日目2月1日実施MathJax

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　${\left({\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}\right)}^2+10\sqrt{6}$を簡単にせよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(2)　方程式$2{({\log }_{3}x)}^2-{\log }_3{x}^3+1=0$を解け．

【１】　次の各問に答えよ．

(3)　方程式$9^x-28\cdot 3^{x-1}+3=0$を解け．

【１】　次の各問に答えよ．

(4)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(1,-1,2)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(1,2,-1)$のなす角を求めよ．

【２】　$a$を定数とする．座標平面上の円

$C\text{：}{x}^2-2ax+y^2+4ay-5=0$

の中心を$\mathrm{P}$とする．次の各問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標および$C$の半径を求めよ．

(2)　$C$が点$\mathrm{A}$$(-1,1)$を通るとき，$a$の値を求めよ．また，点$\mathrm{A}$における$C$の接線の方程式を求めよ．

(3)　(2)のとき，点$\mathrm{A}$における$C$の接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}\text{，}$$y$軸と交わる点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{▵PQR}$の面積を求めよ．

【３】　$a$を正の定数とする．放物線$y=-x^2+1$上の点$\mathrm{P}$$(a,-a^2+1)$における接線を$l_1$とし，点$\mathrm{P}$を通り$l_1$に直交する直線を$l_2$とする．$l_1$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とし，$l_2$と$y$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．さらに，点$\mathrm{P}$から$y$軸に下ろした垂線と$y$軸との交点を$\mathrm{S}$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　直線$l_1$の方程式を求めよ．

(2)　直線$l_2$の方程式を求めよ．

(3)　放物線$y=-x^2+1\text{，}$直線$l_1$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

(4)　(3)で求めた図形の面積が$\mathrm{▵PRS}$の面積と等しくなるときの$a$の値を求めよ．

【４】　関数$y={\sin }^{3}x+4\sin x\cos x+{\cos }^{3}x$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$について，次の各問に答えよ．

(1)　$t=\sin x+\cos x$とおく．$t$の取り得る値の範囲を求めよ．

(2)　(1)のとき，$\sin x\cos x$を$t$の式で表せ．また，$y$を$t$の式で表せ．

(3)　$y$の最大値と最小値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(4)　$a$を定数とする．$2$次関数$y=x^2-ax+{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}^2-a$の最小値が$-1$になるような$a$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(5)　$9$人の生徒を$4$人，$3$人，$2$人の$3$組に分ける方法は何通りあるか求めよ．