2009　高知工科大学　A2日程2月15日実施MathJax

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　正の定数$a$に対して，式$\sqrt[3]{a^2}\times \sqrt{a^3}÷\sqrt[6]{a}$を簡単にせよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(2)　${\log }_2\sqrt{27}-{\log }_{4}48-{\log }_{8}216$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(1,k)\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(2,3)$とする．$\mathrm{\angle BCA}=90\mathrm{°}$のとき，定数$k$の値を求めよ．

【２】　鋭角三角形$\mathrm{ABC}$において$a=\mathrm{BC}$とおく．次の各問に答えよ．

(1)　頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線と$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．$x=\mathrm{BH}$とおくとき，$\tan B\text{，}$$\tan C$を$a\text{，}$$x\text{，}$$\mathrm{AH}$で表せ．

(2)　$x\text{，}$$\mathrm{AH}$を$a\text{，}$$\tan B\text{，}$$\tan C$で表せ．

(3)　$\mathrm{▵ABC}$の面積を$a\text{，}$$\tan B\text{，}$$\tan C$で表せ．

【３】　座標平面上の放物線$y=x^2$を$C$とし，直線$y=m(x+3)$を$l$とする．直線$l$は放物線$C$と点$\mathrm{P}$$(-1,1)$および点$\mathrm{Q}$で交わっている．次の各問に答えよ．

(1)　$m$の値を求めよ．また，点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(2)　$C$と$I$で囲まれた図形の面積を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$における$C$の接線の方程式を求めよ．また，この接線が$x$軸と交わる点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

(4)　$\mathrm{▵PQR}$の外接円の中心の座標を求めよ．

【４】　$a$を正の定数として，座標平面上に放物線$y=x^2$および点$\mathrm{A}$$(a,a^2)$をとる．次の各問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{A}$において，$y=x^2$の接線と直交する直線の方程式を求めよ．また，この直線と$y$軸との交点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(2)　点$\mathrm{C}$$(a,a^2+{\displaystyle \frac{1}{2}})$をとり$\alpha =\mathrm{\angle BAC}$とおく．$\tan \alpha$を$a$で表せ．

(3)　$y$軸上に点$\mathrm{F}$を$\mathrm{\angle BAF}=\alpha$となるようにとる．直線$\mathrm{AF}$と$x$軸の正の向きとのなす角を$\beta$とするとき，$\beta$を$\alpha$で表せ．また，$\tan \beta$を$a$で表せ．

(4)　直線$\mathrm{AF}$の方程式を求めよ．また，点$\mathrm{F}$の座標を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(3)　座標平面上の$2$点$\mathrm{A}$$(5,5)\text{，}$$\mathrm{B}$$(9,3)$を結ぶ線分$\mathrm{AB}$の垂直$2$等分線の方程式を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(4)　白玉$5$個と赤玉$3$個が入っている袋から玉を同時に$3$個取り出すとき，白玉が$2$個，赤玉が$1$個である確率を求めよ．