2009　九州歯科大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　異なる$2$直線$(c+2)x+(18-c)y=2c$と$(c-2)x+cy=12-c$が平行であるとき，定数$c$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{128}}({\displaystyle \sum _{k=0}^{2n}}{}_{2n}C_k-{\displaystyle \sum _{k=0}^n}{}_{n}C_k)=127$をみたす自然数$n$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　ベクトル$\overrightarrow{a}$の大きさ$\left|\overrightarrow{a}\right|$はベクトル$\overrightarrow{b}$の大きさ$\left|\overrightarrow{b}\right|$の$3$倍で，$|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=4\text{，}$$|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|=3$が成り立つとする．このとき，$\left|\overrightarrow{b}\right|$の値を求めよ．また，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

【２】　$2$つの曲線$y=a\cos x$と$y=(1+\sin x)\tan x$の$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$における交点の$x$座標を$\theta$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の定数である．

(1)　$\sin \theta$と$\cos \theta$を$a$を用いて表せ．

(2)　$f(x)=\log {\displaystyle \frac{1+\sin x}{\cos x}}$の導関数$f^{\prime }(x)$を$\cos x$を用いて表せ．

(3)　$2$つの曲線$y=a\cos x\text{，}$$y=(1+\sin x)\tan x$と$y$軸によって囲まれる図形の面積$S$を$a$を用いて表せ．

(4)　極限値$K=\underset{a\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{2S-\sin 3a}{5a}}$の値を求めよ．

【３】　$f(x)=z^3-12x+8$に対して，$\alpha$を$3$次方程式$f(x)=0$の解の$1$つとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$3$次関数$y=f(x)$の極値を求めよ．

(2)　$f({\displaystyle \frac{{\alpha }^2}{2}}+C)=A_1{\alpha }^2+A_2\alpha +A_3$をみたす$A_1\text{，}$$A_2\text{，}$$A_3$を$C$を用いて表せ．

(3)　$\beta ={\displaystyle \frac{{\alpha }^2}{2}}-4$は$\alpha$と異なる$f(x)=0$の解であることを示せ．

(4)　$\alpha$と$\beta$以外の$f(x)=0$の解を$\gamma$とするとき，$\gamma ={\displaystyle \frac{2}{D\alpha +1}}$をみたす定数$D$の値を求めよ．