2009　北九州市立大学　前期

【１】　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$は，以下の式を満たすものとする．

$a_1=2\text{，}$$b_1=-4\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{11}{4}}{a}_n+{\displaystyle \frac{1}{8}}{b}_n\text{，}$$b_{n+1}={\displaystyle \frac{3}{2}}{a}_n+{\displaystyle \frac{9}{4}}{b}_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{．}\cdots \text{）}$

(1)　$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$b_2\text{，}$$b_3$を求めよ．

(2)　$x_n=2a_n-b_n\text{，}$$y_n=6a_n+b_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$とおくとき，数列$\{x_n\}\text{，}$$\{y_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

【２】　放物線$C\text{：}y=x^2$と直線$l\text{：}y=mx+n$が$2$点で交わっているとし，$2$交点の$x$座標をそれぞれ$a\text{，}$$b$$\text{（}a<b\text{）}$とする．ただし，$m\text{，}$$n$は定数とする．

(1)　曲線$C$と直線$l$で囲まれた部分の面積$S$が$S={\displaystyle \frac{1}{6}}{(b-a)}^3$になることを示せ．

(2)　点$(b,b^2)$における曲線$C$の接線と直線$l$が点$(b,b^2)$において直交しているとき，$a$を$b$を用いて表せ．

(3)　(2)の場合に，面積$S$が最小となる$b$の値と面積$S$の最小値を求めよ．

(4)　(3)の場合に，直線$x=a\text{，}$直線$x=b\text{，}$$x$軸と直線$l$で囲まれる図形の面積を$T$とおく，面積$T$と面積$S$の差を求めよ．

【３】　$2$つの放物線を$C_1\text{：}y=-x^2+2ax+4\text{，}$$C_2\text{：}y=x^2$とする．ただし，$a$は定数とする．

(1)　放物線$C_1$の頂点の座標を$a$を用いて表せ．

(2)　$2$つの放物線$C_1$と$C_2$の交点の座標を$a$を用いて表せ．

(3)　$a\geqq 0$の時の$2$つの放物線$C_1$と$C_2$の$2$つの交点のうち，$x$座標が小さいものを$\mathrm{P}\text{，}$大きいものを$\mathrm{Q}$とする．また，点$(1,0)$を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{▵PQR}$の面積を$a$を用いて表せ．

【４】　$1$個のさいころを$4$回振り，$1$の目が出るごとに$10$点，それ以外の目が出たら$0$点を得るものとする．

(1)　$1$回目と$2$回目に$1$の目が出て，$3$回目と$4$回目に$1$以外の目が出る確率を求めよ．

(2)　少なくとも$1$回は$1$の目が出る確率を求めよ．

(3)　$20$点を得る確率を求めよ．

(4)　$30$点を得る確率を求めよ．

(5)　得点の期待値を求めよ．

【１】　以下の問い(1)〜(5)の空欄$\text{ア}\text{〜}$$\text{ケ}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(1)　$y=a{x}^2+6x+4a^2-3$のグラフを$x$軸方向に$3\text{，}$$y$軸方向に$8a$だけ平行移動した放物線の方程式は$y=\text{ア}$となる．ただし，$a$は定数で$a<0$とする．この平行移動した放物線のグラフが$x$軸と接する場合，定数$a$の値は$\text{イ}$である．

【１】　以下の問い(1)〜(5)の空欄$\text{ア}\text{〜}$$\text{ケ}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(2)　$2$個のさいころを同時に投げて，出る目の和が$7$になれば$360$点，出る目の積が$20$以上になれば$150$点，それ以外の目の組合せが出れば$-30$点とする．得点の期待値は$\text{ウ}$点である．

【１】　以下の問い(1)〜(5)の空欄$\text{ア}\text{〜}$$\text{ケ}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(3)　全体集合を$U=\{x|x\text{は}30\text{以下の自然数}\}\text{，}$$U$の部分集合を$A=\{x|x\text{は}20\text{の約数}\}\text{，}$$B=\{x|x\text{は}24\text{の約数}\}$とするとき，$\bar{A}\cap B$の要素の個数は$\text{エ}$であり，$\overline{A\cup B}$の要素の個数は$\text{オ}$である．

【１】　以下の問い(1)〜(5)の空欄$\text{ア}\text{〜}$$\text{ケ}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(4)　$|1-\sqrt{5}|$の整数部分を$a\text{，}$小数部分を$b$とするとき，$a+b$の値は$\text{カ}$であり，${\displaystyle \frac{4}{a+b-4}}+{\displaystyle \frac{2}{a-b+2}}$の値は$\text{キ}$である．

【１】　以下の問い(1)〜(5)の空欄$\text{ア}\text{〜}$$\text{ケ}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(5)　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{\angle A}=60\mathrm{°}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$および辺$\mathrm{AC}$の長さがそれぞれ$3\text{，}$$2$のとき，辺$\mathrm{BC}$の長さは$\text{ク}$である．また，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{D}$とすると，中線$\mathrm{AD}$の長さは$\text{ケ}$となる．

【２】　以下の問い(1)〜(5)の空欄$\text{サ}\text{〜}$$\text{ナ}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(1)　$a<b$とする．$2$次方程式$2x^2+ax+2b=0$の$2$つの解の和と積が，$2$次方程式$x^2+bx+a=0$の$2$つの解である．このとき，定数$a\text{，}$$b$の値は，$a=\text{サ}\text{，}$$b=\text{シ}$である．

【２】　以下の問い(1)〜(5)の空欄$\text{サ}\text{〜}$$\text{ナ}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(2)　$a$と$b$が$a+b=4$を満たしながら動く．このとき，放物線$y=x^2+2ax+b$と頂点の軌跡の方程式は$\text{ス}$である．

【２】　以下の問い(1)〜(5)の空欄$\text{サ}\text{〜}$$\text{ナ}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(3)　$0\leqq x<2\pi$とする．関数$y=\cos 2x+2\cos x$の最大値，最小値と，そのときの$x$の値を求めると，$x=\text{セ}$のとき最大値$y=\text{ソ}\text{，}$$x=\text{タ}\text{，}$$\text{チ}$のとき最小値$y=\text{ツ}$をとる．

【２】　以下の問い(1)〜(5)の空欄$\text{サ}\text{〜}$$\text{ナ}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(4)　方程式$5{\log }_3(3x^2)+2{({\log }_{3}x)}^2+7=0$を解くと，$x=\text{テ}\text{，}$$\text{ト}$である．

【２】　以下の問い(1)〜(5)の空欄$\text{サ}\text{〜}$$\text{ナ}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(5)　$a_1=2\text{，}$$n{a}_{n+1}=(n+1)a_n+1\text{，}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$で定義される数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=\text{ナ}$である．

【３】　曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{\log x}{x}}$について以下の問いに答えよ．答えを導く過程を記すこと．

(1)　原点から曲線$C$に引いた接線$l$の方程式と接点の座標を求めよ．

(2)　曲線$C$と接線$l$および$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．

(3)　曲線$C$と接線$l$および$x$軸とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

【４】　行列$A\text{，}$$P$を$A=\left(\begin{array}{cc}3& a-3\\ a& 0\end{array}\right)\text{，}$$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& a\end{array}\right)$とする．以下の問いに答えよ．答えを導く過程を記すこと．

(1)　$A^2-(a+b)A+2E=O$が成り立つとき，$a$および$b$を求めよ．ただし，$E$は$2$次の単位行列とし，$O$は零行列とする．

(2)　$P$が逆行列をもつための必要十分条件を示せ．また，この条件が成立するとき，(1)の$a$の値を用いて，$P^{-1}AP$を求めよ．

(3)　$P$が逆行列をもち，(1)の関係式が成り立つとき，$A^n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を求めよ．