2009　北九州市立大学　後期国際環境工学部機械システム工学科

【3-A】　$1\text{，}$$3\text{，}$$5\text{，}$$7\text{，}$$9$の数字を$1$つずつ書いた$5$枚のカードがある．この中から$2$枚のカードを取り出して$a\text{，}$$b$とし，$2$桁の整数$10a+b$を作る．このとき，次の問いに答えよ．求める確率は既約分数で表せ．

(1)　$2$桁の整数が$3$の倍数である確率と$5$の倍数である確率をそれぞれ求めよ．

(2)　$2$桁の整数が$3$の倍数であるが$5$の倍数ではない確率を求めよ．

(3)　$5$枚のカードに$2\text{，}$$4\text{，}$$6\text{，}$$8$の数字を$1$つずつ書いた$4$枚のカードを加える．$9$枚のカードから$2$枚を取り出して同様に$2$桁の整数を作るとき，$2$桁の整数が$3$の倍数であるが$5$の倍数ではない確率を求めよ．

【3-B】　数列$\{a_n\}$を以下のように定める．次の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数である．

$a_n={\sin }^n\theta +{(-1)}^n{\cos }^n\theta$$\text{（}-\pi <\theta \leqq \pi \text{）}$

(1)　$\sin \theta \cos \theta$を$a_1$を用いて表せ．

(2)　$n\geqq 2$のとき$a_{n+1}$を$a_1\text{，}$$a_{n-1}\text{，}$$a_n$を用いて表せ．

(3)　${\displaystyle \frac{{\sin }^5\theta -{\cos }^5\theta +{\sin }^3\theta -{\cos }^3\theta }{\sin \theta -\cos \theta }}={\displaystyle \frac{23}{16}}$を満たす$\theta$を全て求めよ．ただし，$\theta \ne {\displaystyle \frac{1}{4}}\theta \text{，}$$-{\displaystyle \frac{3}{4}}\pi$である．

【3-C】　$-\pi \leqq x<\pi$における$2$つの関数$f(x)=2\sin x+a^2\text{，}$$g(x)={\sin }^{2}x+1$を考える．このとき，$a$を定数として次の問いに答えよ．

(1)　座標平面において，$f(x)$と$g(x)$が異なる$2$つの共有点をもつための$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$a={\displaystyle \frac{1}{2}}$とするとき，$f(x)$と$g(x)$の異なる$2$つの共有点の座標を求めよ．

(3)　$a={\displaystyle \frac{1}{2}}$とするとき，$f(x)$と$g(x)$で囲まれた面積を求めよ．