2009　学習院大学　文学部MathJax

【１】　$n$が自然数のとき，$2^{6n-5}+3^{2n}$は$11$で割り切れることを示せ．

【２】　原点$\mathrm{O}$から出発して数直線上を動く点$\mathrm{P}$は，コインを投げて表が出たら右に$1$だけ移動し，裏が出たら移動しない．コインを$5$回投げたあとの$\mathrm{P}$の座標を$X$とする．

(1)　$X\geqq 2$である確率を求めよ．

(2)　$X$の期待値を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$は等差数列，$\{b_n\}$は公比が正の等比数列で

$a_1=1\text{，}{b}_1=3\text{，}{a}_2+2b_2=21\text{，}{a}_4+2b_4=169$

を満たすとする．

(1)　一般項$a_n\text{，}{b}_n$を求めよ．

(2)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{a_k}{b_k}}$を求めよ．

【４】　$3$次関数$f(x)=2x^3+a{x}^2+bx+c$は$x=-2$および$x=1$で極値をとるとする．

(1)　$a\text{，}b$の値を求めよ．

(2)　$-3\leqq x\leqq 3$を満たすすべての$x$に対して

$f(x)<2c^2+2c$

が成り立つような$c$の値の範囲を求めよ．