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2009-13338-0101
2009 慶応義塾大学 薬学部
2月12日実施
易□ 並□ 難□
【1】
(1) a を実数とするとき, 3 次方程式 x 3+a⁢ x2- 3⁢x+ 10=0 の解の 1 つが x= 2-i ( i は虚数単位)である.このとき, a の値は (1)(2) であり,この方程式の実数解は x= (3)(4) である.
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(2) 0≦x≦ π の範囲で定義された 2 つの関数
がある.このとき, f⁡(x ) がとりうる値の範囲は,
(5)(6) ≦f⁡( x)≦ (7) ⁢ (8)
g⁡(x ) がとりうる値の範囲は, (9)(10) ≦g⁡( x)≦ (11)(12) である.
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(3) 2 点 A( 3,1) ,B( 1,4) と,円 (x-1 )2+ (y+ 2)2 =4 がある.この円上を動く点 P と, A ,B とでできる ▵ABP の面積の最小値は (13) - (14)(15) , 最大値は (16) + (17)(18) である.
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(4) sin⁡18° = (19)- (20) (21) であり, cos⁡18 °= (22)(23) + (24) ⁢ (25) (26) である.
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(5) 1260 は (27)(28) 桁の整数である.また,その最高位の数字は (29) である.ただし, log10 ⁡2=0.3010 , log10 ⁡3=0.4771 とする.
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【2】 xy 平面において, 2 つの放物線 y= x2+ a⁢x ,y= x2- 2⁢a⁢ x, およびこの 2 つの放物線と接する直線 l がある.ただし, a は正の定数とする.
(1) l の方程式は, y= (30)(31) (32) ⁢a⁢x - (33) (34)(35) ⁢ a2 である.
(2) この 2 つの放物線と接線 l で囲まれる図形の面積 S を a の式で表すと, S= (36) (37)(38) ⁢ a (39) である.
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【3】 1 から n までの自然数が 1 つずつ書かれた n 枚のカードがある.ただし, n≧3 とする.これらのカードをよくまぜて 1 枚取り出したとき,そのカードに書かれた数字を x1 とする.次にこのカードをもとに戻してからよくまぜて, 1 枚のカードを取り出し,そのカードに書かれた数字を x2 とする.同様の手順をあと 2 回行い, 3 回目および 4 回目に取り出したカードに書かれた数字をそれぞれ x 3, x4 とする.
(1) n=12 のとき, x1 <x2 となる確率は (40)(41) (42)(43) である.
(2) n=12 のとき, x1 <x2 ≦x 3 となる確率は (44)(45)(46) (47)(48)(49) である.
(3) x1< x2< x3 かつ x3 >x4 となる確率を f⁡(n )n4 とすると, f⁡( n)= (50) (51) ⁢ n4 - (52) (53)(54) ⁢ n3 + (55) (56) ⁢ n2 - (57) (58)(59) ⁢ n である.
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【4】 空間に 3 点 A( 1,0, 0), B(0 -2,0 ), C(0 ,0,4 ) がある. ▵ABC の外接円の中心を P とする. P を通り平面 ABC に垂直な直線をひき,この直線上に点 Q をとる.
(1) P の x 座標は (60) (61)(62) である.
(2) ▵ABC の外接円上の 1 つの点を R とする. ∠PRQ= 60° のとき, Q の x 座標は (63) (64)(65) ± (66)(67) ⁢ (68)(69) (70)(71) である.
(3) (2)のとき,四面体 QABC の体積は (72) ⁢ (73)(74) (75) である.