2009　慶応義塾大学　看護医療学部MathJax

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(1)　$x>0$のとき$(x+{\displaystyle \frac{1}{x}})(2x+{\displaystyle \frac{1}{2x}})$の最小値は$\boxed{\text{(ア)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(2)　${\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^{{\log }_{2}3}=\boxed{\text{(イ)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=5\text{，}\mathrm{AC}=4$であり，$\angle \mathrm{A}$の大きさが$\angle \mathrm{B}$の大きさの$2$倍であるとする．このとき$\mathrm{BC}=\boxed{\text{(ウ)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(4)　関数$y=x^3-6x^2-3x$の極大値は$\boxed{\text{(エ)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(5)　点$(3,1)$から円$x^2+y^2=5$に$2$本の接線を引き，その$2$つの接点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．このとき$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線の方程式は$y=\boxed{\text{(オ)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(1)　$2$次方程式$2x^2+4x+3=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とする．このとき$(\alpha -1)(\beta -1)=\boxed{\text{(カ)}}$であり，${(\alpha -1)}^4+{(\beta -1)}^4=\boxed{\text{(キ)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(2)　第$11$項が$70$であり，初項から第$3$項までの和が$777$である等差数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$は$a_n=\boxed{\text{(ク)}}$である．また$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$S_n$の最大値は$\boxed{\text{(ケ)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(3)　$0\leqq \theta <2\pi$のとき，関数$y=3(\sin \theta +\cos \theta )-2\sin \theta \cos \theta$の最大値を求めよう．$x=\sin \theta +\cos \theta$とおいて，$y$を$x$の関数で表すと$y=\boxed{\text{(コ)}}$と表せる．これより$y$の最大値は$\boxed{\text{(サ)}}$であることがわかる．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(4)　三角形$\mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$について，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}+2\overrightarrow{\mathrm{BP}}+3\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{0}$が成り立っているとする．このとき$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\boxed{\text{(シ)}}$と表せる．また，直線$\mathrm{CP}$と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$として，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=k\overrightarrow{\mathrm{AB}}$とすると$k=\boxed{\text{(ス)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(5)　放物線$y=x^2+x+2$を$F_1$とし，放物線$y=x^2-7x+10$を$F_2$とする．また$2$つの放物線$F_1\text{，}{F}_2$の両方に接する直線を$l$とする．このとき，直線$l$の方程式は$y=\boxed{\text{(セ)}}$であり，放物線$F_1\text{，}{F}_2$と直線$l$で囲まれる部分の面積は$\boxed{\text{(ソ)}}$である．

【３】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数を解答欄に記入しなさい．

(1)　$1$から$10$までの数字が書かれたカードが，それぞれ$1$枚ずつ合計$10$枚入っている袋がある．この袋の中から$3$枚のカードを同時に取り出すとき，次の確率を求めなさい．

(ⅰ)　$3$枚のカードの数の積が$500$以上である確率は$\boxed{\text{(タ)}}$である．

(ⅱ)　$3$枚のカードの数の積が$5$の倍数である確率は$\boxed{\text{(チ)}}$である．

(ⅲ)　$3$枚のカードの数の積が$10$の倍数である確率は$\boxed{\text{(ツ)}}$である．

(2)　$1$から$10$までの数字が書かれたカードが，それぞれ$1$枚ずつ合計$10$枚入っている袋がある．この袋の中から$2$枚のカードを同時に取り出し，その$2$枚のカードの数を記録して，カードを$2$枚とも袋に戻し，袋の中のカードをかき混ぜる．この操作を$3$回繰り返す．このとき，次の確率を求めなさい．

(ⅰ)　取り出した$2$枚のカードの数の積が，$3$回目に始めて奇数となる確率は$\boxed{\text{(テ)}}$である．

(ⅱ)　$1$回目，$2$回目，$3$回目に記録した合計$6$枚のカードの数について，奇数が$3$個，偶数が$3$個である確率は$\boxed{\text{(ト)}}$である．

【４】　$f(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle {\int }_0^3}(x+t)|x-t|dt$とする．次の問いに答えなさい．

(1)　$f(x)$を計算しなさい．

(2)　関数$y=f(x)$のグラフをかきなさい．

(3)　$-1\leqq x\leqq 2$における関数$f(x)$の最大値と最小値を求めなさい．

【５】　$m\text{，}n$を自然数とし，座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,m,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,n)$をとる．また，三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とする．次の問いに答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とする．このとき$S$を，$\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$の大きさ$\left|\overrightarrow{b}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{c}\right|$と内積$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$を用いて表しなさい．ただし，答えのみを記すこと．

(2)　上の(1)を利用して，次の関係式が成り立つことを示しなさい．

$4S^2=m^2+n^2+m^2{n}^2$

(3)　上の(2)の関係式を満たす自然数の組$(m,n,S)$が存在するならば，$m\text{，}n$はともに偶数であることを示しなさい．

(4)　$S$が$10$以下の自然数であるような自然数の組$(m,n,S)$をすべて求めなさい．