2009　上智大学　経済(経営)学部2月7日実施MathJax

【１】

(1)　$m\leqq {\log }_{3}1000<m+1$をみたす整数$m$は$\boxed{\text{ア}}$である．$n\leqq {\log }_2{\displaystyle \frac{1}{200}}<n+1$をみたす整数$n$は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】

(2)　$0\leqq \alpha <2\pi$で，$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}\text{，}\sin \alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$ならば

$\sin 2\alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}}\text{，}\sin 4\alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ク}}}$

である．また，自然数$m$が${\displaystyle \frac{\pi }{m+1}\leqq \alpha <\frac{\pi }{m}}$をみたすとき，$m$は$\boxed{\text{ケ}}$である．

【１】

(3)　$1$次関数$f(x)=ax+b$で，次の条件

$3\leqq f(1)\leqq 6\text{，}4\leqq f(2)\leqq 8$

をみたすものを考える．

　このような$1$次関数$f(x)$のなかで，$f(5)$が最大となるのは，$a=\boxed{\text{コ}}\text{，}b=\boxed{\text{サ}}$のときで，$f(5)=\boxed{\text{シ}}$である．

　また，$f(5)$が最小となるのは，$a=\boxed{\text{ス}}\text{，}b=\boxed{\text{セ}}$のときで，$f(5)=\boxed{\text{ソ}}$である．

【２】　$2$次関数$f(x)=x^2+ax+b$を考える．

(1)　$a\text{，}b$を自然数とし，$f(5)\text{，}f(9)$がともに$13$で割り切れるとする．このとき，$a$を$13$で割った余りは$\boxed{\text{タ}}$であり，$b$を$13$で割った余りは$\boxed{\text{チ}}$である．

(2)　$a\text{，}b\text{，}c$を実数とし，$F(x)={\displaystyle {\int }_c^x}f(t)dt$とする．$F(x)$を$f(x)$で割った商が${\displaystyle \frac{1}{3}}x-1\text{，}$余りが$-8x+24$であるとき，

$a=\boxed{\text{ツ}}\text{，}b=\boxed{\text{テ}}$

である．また，$c$は$\boxed{\text{ト}}\text{，}\boxed{\text{ナ}}\text{，}\boxed{\text{ニ}}$のいずれかである．ただし$\boxed{\text{ト}}<\boxed{\text{ナ}}<\boxed{\text{ニ}}$とする．

(3)　$a\text{，}b$を実数とし，$g(x)=xf(x)$とする．$g(x)$が極大値と極小値をもつための必要十分条件は

$a^2+\boxed{\text{ヌ}}b>0$

である．

【３】　三角形$\mathrm{ABC}$は$1$辺の長さが$2\sqrt{3}$の正三角形で，点${\mathrm{P}}_1$は辺$\mathrm{BC}$上の$\mathrm{C}$と異なる点とする．まず点${\mathrm{P}}_1$から辺$\mathrm{CA}$上に垂線${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$を引く．次に点${\mathrm{P}}_2$から辺$\mathrm{AB}$上に垂線${\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3$を引く．さらに点${\mathrm{P}}_3$から辺$\mathrm{BC}$上に垂線${\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_4$を引く．同様の操作を繰り返して，点${\mathrm{P}}_5\text{，}$点${\mathrm{P}}_6\text{，}$点${\mathrm{P}}_7\text{，}\cdots$を決める．自然数$n$に対して，線分${\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$の長さを$a_n$とおく．

(1)　$a_{n+1}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}{a}_n+\boxed{\text{ハ}}$が成り立つ．

(2)　$r={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$とする．$a_n=r^{n-1}(a_1+\boxed{\text{ヒ}})+\boxed{\text{フ}}$である．

(3)　点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}{\mathrm{P}}_4$がこの順で四角形の頂点をなすのは$0<a_1<\boxed{\text{ヘ}}$のときである．

(4)　$a_1$が(3)の条件をみたすとき，四角形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_4$の面積が最大になるのは$a_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ホ}}}{\boxed{\text{マ}}}}$のときである．

(5)　$r={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$とする．点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_{n+1}$が作る折れ線の長さは

${\displaystyle \sum _{i=1}^n}{a}_i={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ミ}}}{\boxed{\text{ム}}}}(1-r^n)(a_1+\boxed{\text{メ}})+\boxed{\text{モ}}n$

である．