2009　早稲田大学　国際教養学部MathJax

【１】　座標空間において$4$点$\mathrm{A}(1,1,2)\text{，}\mathrm{B}(1,0,4)\text{，}\mathrm{C}(0,1,7)\text{，}\mathrm{D}(2,2,5)$を考える．$3$点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の定める平面に点$\mathrm{A}$から垂線を下ろし，その垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　$△\mathrm{BCD}$の面積は

$△\mathrm{BCD}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}\sqrt{\boxed{\text{イ}}}}{2}}$

である．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{BP}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{BC}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{BD}}\text{，}0\leqq \alpha \text{，}0\leqq \beta \text{，}1\leqq \alpha +\beta \leqq 2$で表される点$\mathrm{P}$が動く領域の面積$S$は

$S={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}\boxed{\text{エ}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}}}{2}}$

である．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{BH}}=s\overrightarrow{\mathrm{BC}}+t\overrightarrow{\mathrm{BD}}$を満たす$s\text{，}t$は

$s=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}\text{，}t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{キ}}}}$

である．

(4)　四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$

である．

【２】

(1)　右図のように，東西に等間隔に$5$本，南北に等間隔に$5$本の道がある．東西南北すべての区画の長さは同じで正方形のマス目を作っている．ロボット$\mathrm{A}$は$\mathrm{S}$地点から$\mathrm{T}$地点まで最短距離の道を等速で行くようにプログラムされ，ロボット$\mathrm{B}$は$\mathrm{T}$地点から$\mathrm{S}$地点まで最短距離の道を等速で行くようにプログラムされている．ロボット$\mathrm{A}$とロボット$\mathrm{B}$は相手の動きに影響を受けないが，ただし同じ地点で会うとこれ以上進むことが出来ない．ロボット$\mathrm{A}$とロボット$\mathrm{B}$の速度は同じである．各地点で最短距離で行くために選べる道が一つ以上ある場合，どの道を選ぶかは同様に確からしい．

(ⅰ)　ロボット$\mathrm{A}$が$\mathrm{S}$地点から出発して$\mathrm{R}$地点を通って$\mathrm{T}$地点まで行く最短距離の道順は

 サ  シ  通り

である．ただし，ロボット$\mathrm{B}$の動きは考えない．

(ⅱ)　ロボット$\mathrm{B}$が$\mathrm{T}$地点から出発して$4$区画進んだとき$\mathrm{R}$地点にいる確率は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}$

である．ただし，ロボット$\mathrm{A}$の動きは考えない．

(ⅲ)　ロボット$\mathrm{A}$は$\mathrm{S}$地点から，ロボット$\mathrm{B}$は$\mathrm{T}$地点から同時に出発して，ロボット$\mathrm{A}$が$\mathrm{T}$地点に，ロボット$\mathrm{B}$が$\mathrm{S}$地点に共に到達する確率は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}\text{タ}}}{128}}$

である．

【２】

(2)　数直線上に$35$以下の自然数を座標とする点が$35$個並んでいる．同じ点を選ぶことを許して，最初に選んだ数を$m$とし，$2$番目に選んだ数を$n$とする．

(ⅰ)　$|m-n|\leqq 3$である場合の数は

$\boxed{\text{チ}\text{3}\text{ツ}}$通り

である．

(ⅱ)　$m+n\geqq 31$かつ$|m-n|\leqq 3$である場合の数は

$\boxed{\text{テ}\text{3}\text{ト}}$通り

である．

【３】　方程式

(#)　$|x^3-x|=x+k$

の実数解について考察する．ただし，$k$は実数の定数とする．

(1)　方程式(#)が異なるちょうど$3$個の実数解を持つような$k$の値は，

$k_1=\boxed{\text{ナ}}\text{，または}{k}_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}\sqrt{\boxed{\text{ヌ}}}}{\boxed{\text{ネ}}}}$

である．ただし，$k_1<k_2$とする．

(2)　$k=k_2$のとき，(#)の$3$個の実数解は

$x_1=-{\displaystyle \frac{\sqrt[3]{\boxed{\text{ノ}}}\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}\text{，}{x}_2=-{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{フ}}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}\text{，}{x}_3={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}\sqrt{\boxed{\text{ホ}}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}$

である．ただし，$x_1<x_2<x_3$とする．

(3)　$k_1<k<k_2$のとき，(#)の実数解の個数は$\boxed{\text{マ}}$個である．