2009　南山大　経営学部Ｂ2月9日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　次の循環小数の計算の結果は，循環小数で書き表すと

$1.\stackrel{\cdot }{3}\times 0.\stackrel{\cdot }{6}7\stackrel{\cdot }{5}=\boxed{\text{ア}}$

であり

$1.\stackrel{\cdot }{3}+0.\stackrel{\cdot }{6}7\stackrel{\cdot }{5}=\boxed{\text{イ}}$

である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　複素数$\alpha =-1+\sqrt{3}i$が$4$次方程式

$x^4+a{x}^2+b=0\text{（}a\text{，}b\text{は実数）}$

の$1$つの解であるとき，$b=\boxed{\text{ウ}}$である．また，この$4$次方程式の$\alpha$と共役でない解の$1$つを$\beta$とすると，${\alpha }^3-{\beta }^3=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$a$を定数として，定点$\mathrm{A}(a,2)$と曲線$C$上の点$\mathrm{P}(x,y)$の距離$\mathrm{AP}$が$\mathrm{P}$から$x$軸までの距離$\left|y\right|$に等しいとき，曲線$C$が満たす方程式は$y=\boxed{\text{オ}}$である．また，点$(a,0)$から曲線$C$に接線を引いたとき，接点の$x$座標が$6$と$2$とになるような$a$の値は$a=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　$a$を定数として，関数

$f(x)={\log }_a({\sin }^{2}x+2\sqrt{3}\sin x\cos x-{\cos }^{2}x+6)\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$

の最大値が$3$であるとき，$a=\boxed{\text{キ}}$であり，最大値は$x=\boxed{\text{ク}}$でとる．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　関数$f(x)\text{，}g(x)$が

• $f(x)+{\displaystyle {\int }_1^x}g(t)dt={\displaystyle \frac{5}{2}}{x}^2-x+1$
• $f^{\prime }(x)g(x)=6x^2-3x$

を満たすとき，関数$f(x)$は$f(x)=\boxed{\text{ケ}}$または$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　$a>0$として，$2$つの放物線

• $C_2:y=a{x}^2$
• $C_2:y=-{(x-3)}^2+4a$

がただ$1$つの共有点$\mathrm{A}$を持つとする．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　点$\mathrm{A}$における$C_1$の接線と$C_2$の接線が一致することを示し，その接線の方程式を求めよ．

(3)　(2)で求めた接線を$l$とする．また，曲線$C_1\text{，}$接線$l$と$y$軸で囲まれる部分の面積を$S_1$とし，$C_2\text{，}l$と$y$軸で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．面積の差$|S_1-S_2|$の値を求めよ．