2009　南山大　人文・総合政策Ｂ2月11日実施MathJax

(1)　$2$次方程式$(x-3)(x-4)+(x-5)(x-7)=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とするとき，$\alpha +\beta$と$(6-\alpha )(6-\beta )$を求めると$\alpha +\beta =\boxed{\text{ア}}$であり，$(6-\alpha )(6-\beta )=\boxed{\text{イ}}$である．

(2)　関数$y={\log }_2(x-2)+2{\log }_4(3-x)$は$x$の値が$\boxed{\text{ウ}}$のときに最大値をとり，その最大値は$\boxed{\text{エ}}$である．

(3)　$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．このとき，関数$y=\sin \theta -\sqrt{3}\cos \theta$の最小値は$\boxed{\text{オ}}$であり，不等式$2\sqrt{3}{\sin }^2\theta +\sin 2\theta -\sqrt{3}-1>0$を解くと$\boxed{\text{カ}}$である．

(4)　$a$の値が変化するとき，放物線$y=x^2-2x+6a(x-2)$の頂点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を求めると$\boxed{\text{キ}}$である．また，$0\leqq a\leqq 1$のとき，$\mathrm{P}$の$y$座標の最小値は$\boxed{\text{ク}}$である．

(1)　関数$y={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-x^2$の増減を調べ，極値を求めよ．また，そのグラフである$C_1$をかけ．

(2)　$l_1$の方程式を求めよ．

(3)　$\mathrm{A}$における$C_2$の接線も$l_1$であるとき，$a$と$b$の値を求めよ．

(4)　(3)のとき，$\mathrm{A}$を通り$l_1$に直交する直線を$l_2$とする．$x\geqq 0$の領域で$l_2$と$C_2$と$y$軸とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．