2009　同志社大　理系学部2月4日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　$3$次関数$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$が$\underset{x\to 1}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{x^2-1}}=4\text{，}\underset{x\to -1}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{x^2-1}}=2$をみたすとき，定数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の値は$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}b=\boxed{\text{イ}}\text{，}c=\boxed{\text{ウ}}\text{，}d=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　${\displaystyle \frac{x-1}{x^3+1}=\frac{\alpha x+\beta }{x^2-x+1}+\frac{\gamma }{x+1}}$をみたす定数$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$を求めると，$\alpha =\boxed{\text{オ}}\text{，}\beta =\boxed{\text{カ}}\text{，}\gamma =\boxed{\text{キ}}$である．よって，$C$を積分定数として${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{x-1}{x^3+1}}dx={\displaystyle \frac{1}{3}}\log (\boxed{\text{ク}})+C$となる．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(3)　$f(x)=e^{x^2}$の第$2$次導関数は$f^{″}(x)=(\boxed{\text{ケ}})e^{x^2}$であり，第$4$次導関数は$f^{(4)}(x)=(\boxed{\text{コ}})e^{x^2}$である．

【２】　次の(1)，(2)の問いに答えよ．

(1)　$F(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle {\int }_0^x}(t-x)\sin tdt$とおく．

(ⅰ)　導関数$F^{\prime }(x)$および第$2$次導関数$F^{″}$を求めよ．

(ⅱ)　$0\leqq x\leqq \pi$における$F(x)$の最大値と最小値を求めよ．

【２】　次の(1)，(2)の問いに答えよ．

(2)　$E$を$2$次の単位行列として，$2$次の正方行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)$が$A^2=E$をみたすとする．ただし，$a\text{，}b\text{，}c$は実数であり，$b>0$とする．

(ⅰ)　$a$の値が取り得る範囲を求めよ．また，$a$の値がその範囲にあるとき，$b$および$c$を$a$で表せ．

(ⅱ)　$A\left(\begin{array}{c}x\\ 1\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{c}x\\ 1\end{array}\right)$をみたす$x$を$a$で表せ．

【３】　定積分

$I_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}{\displaystyle \frac{dx}{{(\cos x)}^n}}\text{（}n=0\text{，}\pm 1\text{，}\pm 2\text{，}\cdots \text{）}$

について次の問いに答えよ．

(1)　$I_0\text{，}{I}_{-1}\text{，}{I}_2$を求めよ．

(2)　$I_1$を求めよ．

(3)　部分積分法を用いて，

$n{I}_n-(n+1)I_{n+2}+{(\sqrt{2})}^n=0$

が整数$n$に対して成り立つことを示せ．

(4)　$I_{-3}\text{，}{I}_{-2}\text{，}{I}_3$を求めよ．

(5)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}\sqrt{x^2+1}dx$および${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{dx}{{(x^2+1)}^2}}$を求めよ．

【４】　双曲線$C:x^2-{\displaystyle \frac{y^2}{4}}=-1$について次の問いに答えよ．

(1)　$C$の漸近線の方程式を記せ．

(2)　$m$を任意の実数として，直線$y=mx$が曲線$C$に接していないことを示せ．

(3)　点$\mathrm{A}(\sqrt{3},0)$を通る$C$の接線の方程式をすべて求めよ．

(4)　$C$上にない点$\mathrm{P}(p,q)$を通る$C$の接線がちょうど$2$本あって，$2$本の接線が直交するとき，$p\text{，}q$がみたすべき条件を求めよ．