2009　同志社大　社会学部2月10日実施MathJax

(1)　$1$の異なる$3$乗根を$1\text{，}{\omega }_1\text{，}{\omega }_2$とすると，${\omega }_1=\boxed{\text{ア}}\text{，}{\omega }_2=\boxed{\text{イ}}$である．このとき，${\omega }_1+{\omega }_2=\boxed{\text{ウ}}$となる．さらに，$S={\displaystyle \sum _{k=0}^n}({{\omega }_1}^k+{{\omega }_2}^k)$とすると，$n$が$2009$のとき，$S=\boxed{\text{エ}}$となり，$n$が$2010$のとき，$S=\boxed{\text{オ}}$となる．

(2)　$f(x)=3x^2-8x+2\text{，}g(x)=2x^2+2x+1$として，$2$つの放物線$C_1:y=f(x)$と$C_2:y=g(x)$を考える．$2$つの放物線$C_1\text{，}{C}_2$の両方に接する直線のうち，傾きが正である直線$l_1$の方程式は$\boxed{\text{カ}}$で表され，傾きが負である直線$l_2$の方程式は$\boxed{\text{キ}}$で表される．$l_1$と$C_1\text{，}{C}_2$との接点の座標はそれぞれ$(\boxed{\text{ク}},\boxed{\text{ケ}})$および$(\boxed{\text{コ}},\boxed{\text{サ}})$であり，$l_2$と$C_1\text{，}{C}_2$との接点の座標はそれぞれ$(\boxed{\text{シ}},\boxed{\text{ス}})$および$(\boxed{\text{セ}},\boxed{\text{ソ}})$である．

(1)　$S_1\text{，}{S}_2\text{，}{S}_3$を求めよ．

(2)　$n\geqq 4$のとき，${\displaystyle \frac{n}{2^n}\leqq \frac{1}{4}}$を示せ．

(3)　$n\geqq 2$のとき，${\displaystyle \sum _{k=2}^n}{\displaystyle \frac{1}{k^n}}\leqq {\displaystyle \frac{n}{2^n}}$を示せ．

(4)　$n\geqq 1$のとき，$S_2-S_n\geqq 0$を示せ．

(1)　$x+y=u\text{，}xy=v$とする．$u\text{，}v$の満たす関係式を求めよ．また，$u$の最大値と最小値を求めよ．

(2)　$x^2+y^2$の最大値と最小値を求めよ．

(3)　$x^3+y^3$の最大値と最小値を求めよ．